题目
设随机变量X和Y的相关系数rho_(XY)=0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数rho_(YZ)=(答案用小数表示,保留两位小数)
设随机变量X和Y的相关系数$\rho_{XY}=0.9$，若
Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数$\rho_{YZ}=$
(答案用小数表示,保留两位小数)
题目解答
答案
为了找到随机变量 $Y$ 和 $Z$ 的相关系数 $\rho_{YZ}$，其中 $Z = X - 0.4$，我们首先回顾相关系数的定义和性质。两个随机变量 $U$ 和 $V$ 的相关系数由下式给出：
\[
\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sigma_U \sigma_V}
\]
其中 $\text{Cov}(U, V)$ 是 $U$ 和 $V$ 的协方差，$\sigma_U$ 和 $\sigma_V$ 分别是 $U$ 和 $V$ 的标准差。
在我们的问题中，我们有 $Z = X - 0.4$。$Y$ 和 $Z$ 的协方差为：
\[
\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4)
\]
利用协方差的性质，即协方差是双线性的，我们得到：
\[
\text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, 0.4)
\]
由于常数与随机变量的协方差为零，$\text{Cov}(Y, 0.4) = 0$。因此，我们有：
\[
\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X)
\]
接下来，我们需要找到 $Z$ 的标准差。$Z$ 的方差为：
\[
\sigma_Z^2 = \text{Var}(Z) = \text{Var}(X - 0.4)
\]
利用方差的性质，即向随机变量添加常数不会改变其方差，我们得到：
\[
\text{Var}(X - 0.4) = \text{Var}(X) = \sigma_X^2
\]
因此，$Z$ 的标准差为：
\[
\sigma_Z = \sqrt{\sigma_X^2} = \sigma_X
\]
现在，我们可以找到相关系数 $\rho_{YZ}$：
\[
\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_Y \sigma_X} = \rho_{XY}
\]
已知 $\rho_{XY} = 0.9$，我们有：
\[
\rho_{YZ} = 0.9
\]
因此，$Y$ 和 $Z$ 的相关系数为：
\[
\boxed{0.90}
\]
解析
本题考查随机变量相关系数的定义、协方差和方差的性质。解题思路是先根据协方差的性质求出$Y$与$Z$的协方差$\text{Cov}(Y, Z)$，再根据方差的性质求出$Z$的标准差$\sigma_Z$，最后根据相关系数的定义求出$\rho_{YZ}$。
- 计算$Y$与$Z$的协方差$\text{Cov}(Y, Z)$：
已知$Z = X - 0.4$，根据协方差的双线性性质$\text{Cov}(aU + bV, W) = a\text{Cov}(U, W) + b\text{Cov}(V, W)$，可得：
$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X - 0.4) = \text{Cov}(Y, X) - \text{Cov}(Y, 0.4)$
因为常数与随机变量的协方差为$0$，即$\text{Cov}(Y, 0.4) = 0$，所以$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X)$。 - 计算$Z$的标准差$\sigma_Z$：
根据方差的性质，向随机变量添加常数不会改变其方差，即$\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X)$（$c$为常数），可得：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(X - 0.4) = \text{Var}(X) = \sigma_X^2$
标准差是方差的平方根，所以$Z$的标准差为：
$\sigma_Z = \sqrt{\text{Var}(Z)} = \sqrt{\sigma_X^2} = \sigma_X$ - 计算$Y$与$Z$的相关系数$\rho_{YZ}$：
根据相关系数的定义$\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sigma_U \sigma_V}$，可得：
$\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z}$
将$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X)$和$\sigma_Z = \sigma_X$代入上式，可得：
$\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_Y \sigma_X} = \rho_{XY}$
已知$\rho_{XY} = 0.9$，所以$\rho_{YZ} = 0.9$，保留两位小数为$0.90$。