商品价格和商品供给数据P(元)2 8 7 5 1 4 8 2 S(件)15 41 32 9 28 43 17 40 sum s^2=1025, sum p^2=55.9, sum ps=255.4。其中,小写字母表示离差(观察值减去均值)。(1)用OLS法估计线性回归方程E(S) = beta _1+ beta _2 P。(2)计算widehat beta _1, widehat beta _2的标准差。(3)检验假设:价格影响供给。(4)求beta _1的置信度为95%的置信区间。你对置信区间有何评论

(1) 用OLS法估计线性回归方程E(S) = \beta _1+ \beta _2 P。

首先，计算样本的均值：\bar{s}=24.125和\bar{p}=4.25

然后，计算离差平方和，并根据最小二乘法的原理计算出 \widehat{\beta}_1 和 \widehat{\beta}_2。

利用矩阵公式：

X = \begin{bmatrix} 1 & p_1 \ 1 & p_2 \ \vdots & \vdots \ 1 & p_n \end{bmatrix},

Y = \begin{bmatrix} s_1 \ s_2 \ \vdots \ s_n \end{bmatrix},

B = (X^TX)^{-1}X^TY

其中，n为观测数据的数量，p_i和s_i分别表示第i个商品价格和供给量。

代入数据可得：

X^TX = \begin{bmatrix} n & \sum_{i=1}^{n}p_i \ \sum_{i=1}^{n}p_i & \sum_{i=1}^{n}p_i^2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 8 & 34 \ 34 & 170.9 \end{bmatrix}

(X^TX)^{-1} = \begin{bmatrix} 0.2125 & -0.025 \ -0.025 & 0.003125 \end{bmatrix}

X^TY = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n}s_i \ \sum_{i=1}^{n}p_is_i \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 193 \ 912.4 \end{bmatrix}

因此，OLS估计的线性回归方程为：

E(S) = \widehat{\beta}_1 + \widehat{\beta}_2 P

其中，\widehat{\beta}_1 = 24.875 和 \widehat{\beta}_2 = 5.396。

所以，估计的线性回归方程为：

E(S) = 24.875 + 5.396P

(2) 计算 \widehat{\beta}_1 和 \widehat{\beta}_2 的标准差。

OLS估计的 \widehat{\beta}_1 和 \widehat{\beta}_2 的标准差如下：

SE(\widehat{\beta}1) = \sqrt{\frac{\sum{i=1}^{n}(s_i - \widehat{s_i})^2}{n-2}\left[\frac{1}{n} + \frac{\bar{p}^2}{\sum_{i=1}^{n}(p_i-\bar{p})^2}\right]} = 5.349

SE(\widehat{\beta}2) = \sqrt{\frac{\sum{i=1}^{n}(s_i - \widehat{s_i})^2}{n-2}\left[\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}(p_i-\bar{p})^2}\right]} = 1.131

其中，\widehat{s_i}是根据估计的线性回归方程计算出第i个商品的供给量的估计值。

(3) 检验假设：价格影响供给。

使用t检验进行假设检验，即：

H_0: \beta_2 = 0（价格不影响供给）

H_1: \beta_2 \neq 0（价格影响供给）

根据OLS的结果，可以计算t统计量为：

t = \frac{\widehat{\beta}_2}{SE(\widehat{\beta}_2)} = \frac{5.396}{1.131} = 4.778

自由度df=n-2=6，置信水平为0.05时，双尾t分布的临界值为t_{0.025}(6)=2.447。

因为t>t_{0.025}(6)，所以拒绝原假设，认为价格对供给有显著的影响。

(4) 求 \beta_1 的置信度为95%的置信区间，并进行评论。

利用t分布的临界值和标准误差来计算置信区间。在这个例子中，自由度df=n-2=6，置信水平为0.05时，双尾t分布的临界值为t_{0.025}(6)=2.447，而\widehat{\beta}_1=24.875和SE(\widehat{\beta}_1)=5.349。

因此，\beta_1的95%置信区间为：

\widehat{\beta}1 \pm t{0.025}(n-2) \times SE(\widehat{\beta}_1)

= 24.875 \pm 2.447 \times 5.349

= [11.76, 38.99]

根据计算结果，我们可以得出有95%的置信度认为真实的 \beta_1 值在11.76到38.99之间。

对置信区间的评论：置信区间是一个区间估计，表明在相同的抽样条件下，这个区间在一定置信水平下包含了参数的真实值。对于本题而言，我们可以有95%的置信度认为真实的\beta_1 落在了11.76到38.99之间。此外，置信区间的宽度反映了数据的不确定性，即样本大小越小，置信区间就越大；测量误差越大，置信区间也越大。