设总体 X 的数学期望 mu 和方差 sigma^2 存在，X_1, X_2, ..., X_n 是 X 的样本，则下面的统计量中可作为 sigma^2 的无偏估计的是:A. 当 mu 已知时，统计量 (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2；B. 当 mu 已知时，统计量 (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2；C. 当 mu 未知时，统计量 (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2；D. 当 mu 未知时，统计量 (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2。

考查要点：本题主要考查无偏估计量的判断，涉及样本方差在不同情况下（总体均值已知或未知）的计算公式。

解题核心思路：

1. 无偏估计的定义：统计量的期望等于被估计的参数。
2. 总体方差的无偏估计需根据总体均值是否已知选择不同的分母：
   • 已知总体均值$\mu$时，方差的无偏估计为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$；
   • 未知总体均值$\mu$时，需用样本均值$\bar{X}$代替$\mu$，此时方差的无偏估计为$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。

破题关键点：

• 明确选项中统计量的分母是否符合无偏性要求。
• 注意当$\mu$未知时，统计量必须用样本均值$\bar{X}$代替$\mu$，否则无法计算。

选项分析

选项A（$\mu$已知时）

统计量为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$：

• 期望计算：
  $E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[(X_i - \mu)^2] = \frac{1}{n} \cdot n \sigma^2 = \sigma^2$
• 结论：满足无偏性。

选项B（$\mu$已知时）

统计量为$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$：

• 期望计算：
  $E\left[\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2\right] = \frac{n}{n-1} \sigma^2 \neq \sigma^2$
• 结论：分母错误导致有偏。

选项C（$\mu$未知时）

统计量为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$：

• 问题：$\mu$未知时无法直接计算，且即使代入$\bar{X}$，分母仍应为$n-1$才能无偏。
• 结论：不可行。

选项D（$\mu$未知时）

统计量为$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$：

• 问题：$\mu$未知时无法直接计算，且未用样本均值$\bar{X}$代替$\mu$。
• 结论：不可行。