题目

级数sum _(n=1)^infty dfrac (n+1)({(i-1))^n}的敛散性质为( ) A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 实部收敛,虚部发散

级数 $\sum\limits _{n=1}^{∞}\frac {n+1}{(i-1)^{n}}$ 的敛散性质为( )

A 发散

B 绝对收敛

C 条件收敛

D 实部收敛,虚部发散

题目解答

将所给级数变形为： $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n + 1}{(i - 1)^{n}}=\sum_{n = 1}^{\infty}(n + 1)(\frac{1}{i - 1})^{n}$

因为 $i^2=-1$ ，所以 $i-1=\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})$ 。

则 $|\frac{1}{i-1}|=\frac{1}{|i-1|}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ 。

由于公比的绝对值小于 $1$ ，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)(\frac{1}{i-1})^n$ 绝对收敛。

综上所述，选择选项 B。