4.设随机变量 sim N(mu ,({sigma )_(1)}^2) , sim N(mu ,({sigma )_(2)}^2), 且对任意 ε>0, 有 |X-mu |lt varepsilon gt -|||- |Y-mu |lt varepsilon , 则σ1^2,σ2^2满足的关系为 () .-|||-A. ({sigma )_(1)}^2geqslant ({sigma )_(2)}^2 B. ({sigma )_(1)}^2leqslant ({sigma )_(2)}^2 C. ({sigma )_(1)}^2gt ({sigma )_(2)}^2 D. ({sigma )_(1)}^2lt ({sigma )_(2)}^2
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率密度特性及方差对概率的影响。关键在于理解方差如何影响随机变量在均值附近某一邻域内的概率大小。
解题核心思路：
- 正态分布的性质：方差越小，数据越集中在均值附近，均值附近某一邻域内的概率越大。
- 隐含条件分析：题目中对任意$\varepsilon > 0$，$X$在$\mu$附近的概率始终大于$Y$，这暗示$X$的均值$M$必须等于$\mu$（否则当$\varepsilon$趋近于0时，$X$的概率可能为0，与条件矛盾）。
- 方差比较：在均值相同的情况下，方差更小的分布会在任意邻域内有更高的概率，因此$\sigma_1^2 < \sigma_2^2$。
步骤1：分析均值关系
假设$X$的均值$M \neq \mu$，则当$\varepsilon$足够小（例如$\varepsilon < |M - \mu|$时），$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} = 0$，而$P\{|Y - \mu| < \varepsilon\} > 0$，与题目条件矛盾。因此必须有$M = \mu$。
步骤2：比较方差对概率的影响
当$M = \mu$时，$X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$。
正态分布在均值$\mu$附近$\varepsilon$邻域内的概率为：
$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} = \int_{\mu - \varepsilon}^{\mu + \varepsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_1^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma_1^2}} dx,$
同理可得$P\{|Y - \mu| < \varepsilon\}$。
方差越小，概率密度函数在均值附近的峰值越高，因此对于任意$\varepsilon > 0$，若$\sigma_1^2 < \sigma_2^2$，则$X$在$\mu$附近的概率始终更大。
步骤3：结论
根据条件$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} > P\{|Y - \mu| < \varepsilon\}$，可得$\sigma_1^2 < \sigma_2^2$，对应选项D。