试从 (dx)/(dy) = (1)/(y')，导出：(1) (d^2x)/(dy^2) = -(y'')/((y')^3)；

考查要点：本题主要考查反函数求导法则及高阶导数的链式法则应用。需要理解如何将关于$y$的导数转换为关于$x$的导数，并正确处理复合函数的导数关系。

解题核心思路：

1. 明确变量关系：题目中$x$是$y$的函数，而通常习惯$y$是$x$的函数，需通过反函数关系处理。
2. 链式法则转换：对$\frac{1}{y'}$关于$y$求导时，需通过中间变量$x$，即$\frac{d}{dy} = \frac{d}{dx} \cdot \frac{dx}{dy}$。
3. 代数化简：结合已知$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$，代入并化简最终表达式。

第（1）题

目标：求$\frac{d^2x}{dy^2}$，即$\frac{dx}{dy}$对$y$的导数。

步骤1：对原式两边关于$y$求导

已知$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$，两边对$y$求导：
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{y'} \right)$

步骤2：应用链式法则转换变量

由于$y'$是$x$的函数，需通过中间变量$x$求导：
$\frac{d}{dy}\left( \frac{1}{y'} \right) = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{y'} \right) \cdot \frac{dx}{dy}$

步骤3：计算$\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{y'} \right)$

将$\frac{1}{y'}$视为$(y')^{-1}$，导数为：
$\frac{d}{dx}\left( (y')^{-1} \right) = - (y')^{-2} \cdot y'' = -\frac{y''}{(y')^2}$

步骤4：代入$\frac{dx}{dy}$并化简

结合$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$，得：
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( -\frac{y''}{(y')^2} \right) \cdot \frac{1}{y'} = -\frac{y''}{(y')^3}$