36、判断 若Xsim B(n,p)，则当n较大且p较小时，则X近似服从泊松分布P(np). (1分)A. √B. ×

本题考查二项分布的泊松近似这一知识点。解题思路是依据二项分布和泊松分布的性质，分析在特定条件下二项分布能否近似为泊松分布。

对于二项分布$X\sim B(n,p)$，其概率质量函数为$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。

当$n$较大（一般要求$n\geq100$）且$p$较小（一般要求$p\leq0.1$）时，我们来推导二项分布近似为泊松分布的过程。

令$\lambda=np$，则$p = \frac{\lambda}{n}$。

将$p=\frac{\lambda}{n}$代入二项分布的概率质量函数$P(X = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$中：

$\begin{align*} P(X = k)&=C_{n}^{k}(\frac{\lambda}{n})^{k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n - k}\\ &=\frac{n!}{k!(n - k)!}(\frac{\lambda^{k}}{n^{k}})(1-\frac{\lambda}{n})^{n - k}\\ &=\frac{n(n - 1)\cdots(n - k+1)}{k!}\cdot\frac{\lambda^{k}}{n^{k}}\cdot(1-\frac{\lambda}{n})^{n - k}\\ &=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{n^{k}}\cdot\lambda^{k}\cdot(1-\frac{\lambda}{n})^{n - k} \end{align*}$

当$n$很大时，$\frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{n^{k}}\approx1$，同时$\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}=e^{-\lambda}$，那么$(1-\frac{\lambda}{n})^{n - k}=(1-\frac{\lambda}{n})^{n}\cdot(1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\approx e^{-\lambda}\cdot1^{-k}=e^{-\lambda}$。

所以$P(X = k)\approx\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，而$\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$正是参数为$\lambda$的泊松分布$P(\lambda)$的概率质量函数，这里$\lambda = np$。

因此，若$X\sim B(n,p)$，当$n$较大且$p$较小时，$X$近似服从泊松分布$P(np)$，该说法是正确的。