题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 是总 N(0, sigma^2) 的样本，则()可以作为 sigma^2 的无偏估计量.A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_iB. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_i^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iD. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是总 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，则()可以作为 $\sigma^2$ 的无偏估计量.
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i$
B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i^2$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
解析
步骤 1：计算各选项的期望值
对于正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，我们需要计算各选项的期望值，以确定哪个选项可以作为 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算选项 A 的期望值
$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}0 = 0$，非 $\sigma^2$。
步骤 3：计算选项 B 的期望值
$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \frac{n\sigma^2}{n-1}$，非 $\sigma^2$。
步骤 4：计算选项 C 的期望值
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}0 = 0$，非 $\sigma^2$。
步骤 5：计算选项 D 的期望值
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \sigma^2$，满足无偏性。
对于正态分布 $N(0, \sigma^2)$ 的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，我们需要计算各选项的期望值，以确定哪个选项可以作为 $\sigma^2$ 的无偏估计量。
步骤 2：计算选项 A 的期望值
$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}0 = 0$，非 $\sigma^2$。
步骤 3：计算选项 B 的期望值
$E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \frac{n\sigma^2}{n-1}$，非 $\sigma^2$。
步骤 4：计算选项 C 的期望值
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}0 = 0$，非 $\sigma^2$。
步骤 5：计算选项 D 的期望值
$E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = \sigma^2$，满足无偏性。