题目

若实二次型[ f(x_1, x_2, x_3) = t x_1^2 + t x_2^2 + t x_3^2 + 4 x_1 x_2 + 4 x_1 x_3 + 4 x_2 x_3 ]是负定的,则t满足( )。A. t < -4 B. t < 0 C. t < -2

若实二次型
$f(x_1, x_2, x_3) = t x_1^2 + t x_2^2 + t x_3^2 + 4 x_1 x_2 + 4 x_1 x_3 + 4 x_2 x_3$
是负定的,则t满足( )。

A. $ t < -4 $

B. $ t < 0 $

C. $ t < -2 $

题目解答

答案

要判断实二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = tx_1^2 + tx_2^2 + tx_3^2 + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$ 是负定的，我们需要分析其对应的矩阵的性质。

第一步：写出二次型对应的对称矩阵
二次型 $f(x_1, x_2, x_3)$ 可以写成矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。
矩阵 $A$ 的对角线元素是平方项的系数，即 $a_{11} = a_{22} = a_{33} = t$。
非对角线元素是交叉项系数的一半，即 $a_{12} = a_{21} = \frac{4}{2} = 2$，$a_{13} = a_{31} = \frac{4}{2} = 2$，$a_{23} = a_{32} = \frac{4}{2} = 2$。
因此，矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{pmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & 2 \\ 2 & 2 & t \end{pmatrix}$

第二步：利用顺序主子式判断负定性
根据西尔维斯特判别法（Sylvester's criterion），一个实对称矩阵是负定的，当且仅当其奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。
我们计算矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式：

  1. 一阶顺序主子式 $\Delta_1$：
    $\Delta_1 = t$
    要使二次型负定，必须有 $\Delta_1 < 0$，即 $t < 0$。

  2. 二阶顺序主子式 $\Delta_2$：
    $\Delta_2 = \begin{vmatrix} t & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix} = t^2 - 4$
    要使二次型负定，必须有 $\Delta_2 > 0$，即 $t^2 - 4 > 0$。
    解得 $t < -2$ 或 $t > 2$。
    结合条件 $t < 0$，我们得到 $t < -2$。

  3. 三阶顺序主子式 $\Delta_3$：
    $\Delta_3 = \begin{vmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & 2 \\ 2 & 2 & t \end{vmatrix}$
    计算该行列式：
    $\Delta_3 = t(t^2 - 4) - 2(2t - 4) + 2(4 - 2t)$
    $\Delta_3 = t^3 - 4t - 4t + 8 + 8 - 4t$
    $\Delta_3 = t^3 - 12t + 16$
    要使二次型负定，必须有 $\Delta_3 < 0$，即 $t^3 - 12t + 16 < 0$。
    我们对多项式 $t^3 - 12t + 16$ 进行因式分解。观察可知，当 $t = 2$ 时，$2^3 - 12(2) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$，所以 $(t - 2)$ 是一个因式。
    进一步分解：
    $t^3 - 12t + 16 = (t - 2)(t^2 + 2t - 8) = (t - 2)(t - 2)(t + 4) = (t - 2)^2(t + 4)$
    因此，不等式 $\Delta_3 < 0$ 变为 $(t - 2)^2(t + 4) < 0$。
    因为 $(t - 2)^2 \ge 0$，且当 $t \neq 2$ 时 $(t - 2)^2 > 0$，所以要使乘积小于 0，必须有 $t + 4 < 0$，即 $t < -4$。

第三步：综合所有条件
我们需要同时满足：

  • $t < 0$
  • $t < -2$
  • $t < -4$

取这三个条件的交集，得到最严格的条件是 $t < -4$。

因此，若该实二次型是负定的，则 $t$ 满足 $t < -4$。

对比选项：
A. $t < -4$
B. $t < 0$
C. $t < -2$

正确选项是 A。

解析

本题考查实二次型负定的判定，解题思路是先写出二次型对应的对称矩阵，再根据西尔维斯特判别法，通过计算矩阵的各阶顺序主子式并分析其正负性来确定参数 $t$ 的取值范围。

  1. 写出二次型对应的对称矩阵：
    已知二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = tx_1^2 + tx_2^2 + tx_3^2 + 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 4x_2x_3$，写成矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。
    矩阵 $A$ 的对角线元素是平方项的系数，即 $a_{11} = a_{22} = a_{33} = t$；非对角线元素是交叉项系数的一半，即 $a_{12} = a_{21} = \frac{4}{2} = 2$，$a_{13} = a_{31} = \frac{4}{2} = 2$，$a_{23} = a_{32} = \frac{4}{2} = 2$。
    所以矩阵 $A$ 为：$A = \begin{pmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & 2 \\ 2 & 2 & t \end{pmatrix}$。
  2. 计算各阶顺序主子式并分析其正负性：
    • 一阶顺序主子式 $\Delta_1$：
      $\Delta_1 = t$，根据负定矩阵的性质，要使二次型负定，必须有 $\Delta_1 \lt 0$，即 $t \lt 0$。
    • 二阶顺序主子式 $\Delta_2$：
      $\Delta_2 = \begin{vmatrix} t & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix}$，根据二阶行列式计算公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad - bc$，可得 $\Delta_2 = t^2 - 4$。
      要使二次型负定，必须有 $\Delta_2 \gt 0$，即 $t^2 - 4 \gt 0$。
      因式分解得 $(t - 2)(t + 2) \gt 0$，解得 $t \lt -2$ 或 $t \gt 2$。
      结合 $t \lt 0$，得到 $t \lt -2$。
    • 三阶顺序主子式 $\Delta_3$：
      $\Delta_3 = \begin{vmatrix} t & 2 & 2 \\ 2 & t & 2 \\ 2 & 2 & t \end{vmatrix}$，根据三阶行列式计算公式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$，可得：
      $\Delta_3 = t\begin{vmatrix} t & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & t \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2 & t \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$
      $= t(t^2 - 4) - 2(2t - 4) + 2(4 - 2t)$
      $= t^3 - 4t - 4t + 8 + 8 - 4t$
      $= t^3 - 12t + 16$
      要使二次型负定，必须有 $\Delta_3 \lt 0$，即 $t^3 - 12t + 16 \lt 0$。
      对多项式 $t^3 - 12t + 16$ 进行因式分解，观察可知当 $t = 2$ 时，$2^3 - 12\times2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$，所以 $(t - 2)$ 是一个因式。
      利用多项式除法可得 $t^3 - 12t + 16 = (t - 2)(t^2 + 2t - 8)$，再对 $t^2 + 2t - 8$ 因式分解得 $t^2 + 2t - 8 = (t - 2)(t + 4)$，所以 $t^3 - 12t + 16 = (t - 2)^2(t + 4)$。
      则不等式 $\Delta_3 \lt 0$ 变为 $(t - 2)^2(t + 4) \lt 0$，因为 $(t - 2)^2 \ge 0$，且当 $t \neq 2$ 时 $(t - 2)^2 \gt 0$，所以要使乘积小于 $0$，必须有 $t + 4 \lt 0$，即 $t \lt -4$。
  3. 综合所有条件：
    需要同时满足 $t \lt 0$，$t \lt -2$，$t \lt -4$，取这三个条件的交集，得到最严格的条件是 $t \lt -4$。