题目

请将下列线性规划问题化成标准型。Maximize z = 4x_1 + 3x_2subject to:[}-x_1 + 2x_2 leq 6, 3x_1 + x_2 = 9, x_1 - x_2 geq -3, x_1, x_2 geq 0.]

请将下列线性规划问题化成标准型。

Maximize $z = 4x_1 + 3x_2$

subject to:
$
\begin{cases}
-x_1 + 2x_2 \leq 6, \\
3x_1 + x_2 = 9, \\
x_1 - x_2 \geq -3, \\
x_1, x_2 \geq 0.
\end{cases}
$

题目解答

答案

将原问题化为标准型：

  1. 目标函数：保持不变，最大化 $z = 4x_1 + 3x_2$。
  2. 约束条件：
    • $-x_1 + 2x_2 \leq 6$ 转化为 $-x_1 + 2x_2 + s_1 = 6$（引入松弛变量 $s_1 \geq 0$）。
    • $3x_1 + x_2 = 9$ 已为等式，无需变化。
    • $x_1 - x_2 \geq -3$ 转化为 $-x_1 + x_2 + s_2 = 3$（引入剩余变量 $s_2 \geq 0$，两边同乘 $-1$）。

标准型：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{Maximize } z = 4x_1 + 3x_2 \\\text{subject to:} \\\begin{cases}-x_1 + 2x_2 + s_1 = 6, \\3x_1 + x_2 = 9, \\-x_1 + x_2 + s_2 = 3, \\x_1, x_2, s_1, s_2 \geq 0.\end{cases}\end{array}}$
（或用 $x_3, x_4$ 表示 $s_1, s_2$）。

解析

本题考查线性规划问题化为标准型的知识。线性规划标准型的要求为：目标函数是最大化问题，约束条件都是等式，所有变量都非负。解题思路是根据不同类型的约束条件，通过引入松弛变量或剩余变量将其转化为等式，同时保证变量非负。

  1. 目标函数：
    原目标函数为 $\text{Maximize } z = 4x_1 + 3x_2$，它已经是最大化形式，所以保持不变。
  2. 第一个约束条件：
    原约束条件为 $-x_1 + 2x_2 \leq 6$，为了将其转化为等式，引入松弛变量 $s_1$（$s_1 \geq 0$），根据松弛变量的性质，在不等式左边加上松弛变量就可以得到等式，即 $-x_1 + 2x_2 + s_1 = 6$。
  3. 第二个约束条件：
    原约束条件为 $3x_1 + x_2 = 9$，它本身就是等式形式，所以无需进行变化。
  4. 第三个约束条件：
    原约束条件为 $x_1 - x_2 \geq -3$，首先将不等式两边同时乘以 $-1$，根据不等式性质，不等号方向改变，得到 $-x_1 + x_2 \leq 3$。然后为了将其转化为等式，引入剩余变量 $s_2$（$s_2 \geq 0$），在不等式左边加上剩余变量，即 $-x_1 + x_2 + s_2 = 3$。
  5. 变量非负条件：
    原变量 $x_1, x_2 \geq 0$，新引入的松弛变量 $s_1 \geq 0$ 和剩余变量 $s_2 \geq 0$，所以最终变量的非负条件为 $x_1, x_2, s_1, s_2 \geq 0$。