设 alpha = } a_1 a_2 a_3 a_4 , A = alpha beta^T, 其中 alpha_i neq 0, beta_i neq 0 (i = 1, 2, 3, 4), 则 R(A) = ___
设 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}$, $\beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$, $A = \alpha \beta^T$, 其中 $\alpha_i \neq 0, \beta_i \neq 0 (i = 1, 2, 3, 4)$, 则 $R(A) = \_\_\_$
题目解答
答案
设 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$，其中 $a_i \neq 0$，$b_i \neq 0$（$i=1,2,3,4$）。矩阵 $A = \alpha \beta^T$ 为：
$A = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 & a_1 b_4 \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 & a_2 b_4 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 & a_3 b_4 \\ a_4 b_1 & a_4 b_2 & a_4 b_3 & a_4 b_4 \end{pmatrix}$
观察知，$A$ 的每行（或每列）均为第一行（或第一列）的标量倍数，故秩为 1。
或者，由秩的性质 $R(AB) \leq \min(R(A), R(B))$，且 $R(\alpha) = R(\beta^T) = 1$，得 $R(A) \leq 1$。又因 $A$ 非零矩阵，故 $R(A) = 1$。
答案： $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵秩的概念以及外积矩阵的性质。
解题核心思路：
- 外积矩阵的结构：由列向量$\alpha$和行向量$\beta^T$相乘得到的矩阵$A$，其元素为$a_i b_j$，所有行（或列）均为第一行（或第一列）的标量倍数。
- 秩的定义：矩阵的秩是极大线性无关行（或列）的个数。
- 秩的性质：矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵秩的最小值，即$R(AB) \leq \min(R(A), R(B))$。
破题关键点：
- 通过观察矩阵$A$的行或列的线性相关性，直接得出秩为1。
- 或利用秩的性质，结合$\alpha$和$\beta^T$的秩均为1，推导出$R(A)=1$。
方法一：观察矩阵结构
矩阵$A = \alpha \beta^T$的元素为$a_i b_j$，具体形式如下：
$A = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 & a_1 b_4 \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 & a_2 b_4 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 & a_3 b_4 \\ a_4 b_1 & a_4 b_2 & a_4 b_3 & a_4 b_4 \end{pmatrix}$
- 行分析：第$i$行是第一行的$\frac{a_i}{a_1}$倍（因$\alpha_i \neq 0$），所有行线性相关，仅第一行线性无关。
- 列分析：第$j$列是第一列的$\frac{b_j}{b_1}$倍（因$\beta_j \neq 0$），所有列线性相关，仅第一列线性无关。
因此，$R(A) = 1$。
方法二：秩的性质
- $\alpha$是列向量，秩为1；$\beta^T$是行向量，秩为1。
- 根据秩的性质：
$R(A) = R(\alpha \beta^T) \leq \min(R(\alpha), R(\beta^T)) = 1$ - 由于$\alpha_i \neq 0$且$\beta_j \neq 0$，矩阵$A$非零，故$R(A) \geq 1$。
综上，$R(A) = 1$。