设随机变量 X_1, X_2, X_3 独立同分布且 X_1 的分布函数为 F(x)，则 Z=max[X_1, X_2, X_3] 的分布函数为()A. [1-F(x)][1-F(y)][1-F(z)]B. F(x)F(y)F(z)C. F^3(z)D. 1-[1-F(z)]^3

本题考查独立同分布随机变量最大值的分布函数。核心思路是理解最大值事件的概率表达式。关键点在于：

1. 事件$\{Z \leq z\}$等价于所有随机变量均不超过$z$；
2. 利用独立性将联合概率分解为各变量概率的乘积；
3. 结合分布函数的定义，直接推导结果。

步骤分析

1. 定义事件：$Z = \max[X_1, X_2, X_3] \leq z$当且仅当$X_1 \leq z$、$X_2 \leq z$、$X_3 \leq z$同时成立。
2. 独立性应用：由于$X_1, X_2, X_3$独立，联合概率可分解为各变量概率的乘积：
   $P(X_1 \leq z, X_2 \leq z, X_3 \leq z) = P(X_1 \leq z) \cdot P(X_2 \leq z) \cdot P(X_3 \leq z)$
3. 分布函数代入：每个$P(X_i \leq z) = F(z)$，因此：
   $P(Z \leq z) = [F(z)]^3$
4. 选项匹配：结果对应选项C。

错误选项排除

• 选项A：变量名错误（应统一为$z$）。
• 选项B：混淆了联合概率与最大值概率。
• 选项D：计算的是$P(Z > z)$，而非分布函数$P(Z \leq z)$。