8.（4.0分）设随机变量X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)相互独立，且有E(X_(i))=i,D(X_(i))=5-i,i=1,2,3,4.设Y=2X_(1)-X_(2)+3X_(3)-(1)/(2)X_(4),则D(Y)=（）A. 16B. 37C. 19D. 37.25

本题考查相互独立随机变量的方差性质。解题思路是先明确相互独立随机变量线性组合的方差计算公式，再根据已知条件分别求出各随机变量的方差，最后代入公式计算$D(Y)$。

步骤一：明确方差性质公式

若随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，$a_1,a_2,\cdots,a_n$为常数，则$D(\sum_{i = 1}^{n}a_iX_i)=\sum_{i = 1}^{n}a_i^2D(X_i)$。

步骤二：确定$Y$的表达式中各系数及对应随机变量的方差

已知$Y = 2X_1 - X_2 + 3X_3 - \frac{1}{2}X_4$，则$a_1 = 2$，$a_2 = -1$，$a_3 = 3$，$a_4 = -\frac{1}{2}$。
又已知$D(X_i)=5 - i$，$i = 1,2,3,4$，所以可得：

• $D(X_1)=5 - 1 = 4$；
• $D(X_2)=5 - 2 = 3$；
• $D(X_3)=5 - 3 = 2$；
• $D(X_4)=5 - 4 = 1$。

步骤三：代入公式计算$D(Y)$

根据方差性质公式$D(Y)=D(2X_1 - X_2 + 3X_3 - \frac{1}{2}X_4)$
$=2^2D(X_1)+(-1)^2D(X_2)+3^2D(X_3)+(-\frac{1}{2})^2D(X_4)$
$=4\times4 + 1\times3 + 9\times2 + \frac{1}{4}\times1$
$=16 + 3 + 18 + \frac{1}{4}$
$=37 + \frac{1}{4}$
$=37.25$