29.（单选题，2.0分）lim_(xto0)((sin x)/(x))^(6)/(x^(2))=（）.A. (1)/(e)B. (1)/(2)C. -(1)/(6)D. e

本题考查极限的计算，特别是1^∞型不定式的处理方法。解题的核心思路是将原式转化为自然指数形式，利用泰勒展开或等价无穷小替换简化计算。关键在于：

1. 识别极限类型：底数$\frac{\sin x}{x} \to 1$，指数$\frac{6}{x^2} \to +\infty$，属于$1^\infty$型；
2. 转换为指数形式：利用$a^b = e^{b \ln a}$，将问题转化为求指数部分的极限；
3. 泰勒展开近似：对$\sin x$和$\ln(1-\cdot)$进行展开，保留主要项，简化计算。

步骤1：转换为自然指数形式

原式可改写为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{6}{x^2}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{6}{x^2} \ln \left( \frac{\sin x}{x} \right)}.$

步骤2：泰勒展开近似

1. 展开$\sin x$：当$x \to 0$时，$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$，因此：
   $\frac{\sin x}{x} \approx 1 - \frac{x^2}{6}.$
2. 展开$\ln(1-\cdot)$：对$\ln\left(1 - \frac{x^2}{6}\right)$使用泰勒展开，保留一次项：
   $\ln\left(1 - \frac{x^2}{6}\right) \approx -\frac{x^2}{6}.$

步骤3：计算指数部分的极限

将近似结果代入指数部分：
$\frac{6}{x^2} \cdot \left(-\frac{x^2}{6}\right) = -1.$

步骤4：求最终结果

原极限为：
$e^{-1} = \frac{1}{e}.$