题目
2.计算题2、设总体X的分布律为}1&2&3θ&θ/2&1-3θ/2其中θ>0未知，现得到样本观测值2，3，2，1，3，求θ的矩估计值与最大似然估计值。（提示：已知样本的具体观测值，则似然函数该怎么求呢？）
2.计算题
2、设总体X的分布律为
$\begin{pmatrix}1&2&3\\θ&θ/2&1-3θ/2\end{pmatrix}$
其中θ>0未知，现得到样本观测值2，3，2，1，3，求θ的矩估计值与最大似然估计值。
（提示：已知样本的具体观测值，则似然函数该怎么求呢？）
题目解答
答案
**矩估计值：**
计算总体期望：
\[ E(X) = 3 - \frac{5\theta}{2} \]
样本均值：
\[ \bar{X} = \frac{11}{5} \]
令 $E(X) = \bar{X}$，解得：
\[ \theta = \frac{8}{25} \]
**最大似然估计值：**
似然函数：
\[ L(\theta) = \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right)^2 \theta \]
取对数求导，解得：
\[ \theta = \frac{2}{5} \]
**答案：**
矩估计值：$\boxed{\frac{8}{25}}$
最大似然估计值：$\boxed{\frac{2}{5}}$
解析
步骤 1：计算总体期望
总体X的分布律为 $\begin{pmatrix}1&2&3\\θ&θ/2&1-3θ/2\end{pmatrix}$，则总体期望为：
\[ E(X) = 1 \cdot θ + 2 \cdot \frac{θ}{2} + 3 \cdot \left(1 - \frac{3θ}{2}\right) = θ + θ + 3 - \frac{9θ}{2} = 3 - \frac{5θ}{2} \]
步骤 2：计算样本均值
样本观测值为2，3，2，1，3，样本均值为：
\[ \bar{X} = \frac{2 + 3 + 2 + 1 + 3}{5} = \frac{11}{5} \]
步骤 3：求矩估计值
令总体期望等于样本均值，即 $E(X) = \bar{X}$，解得：
\[ 3 - \frac{5θ}{2} = \frac{11}{5} \]
\[ \frac{5θ}{2} = 3 - \frac{11}{5} = \frac{15}{5} - \frac{11}{5} = \frac{4}{5} \]
\[ θ = \frac{8}{25} \]
步骤 4：求最大似然估计值
似然函数为：
\[ L(\theta) = \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right)^2 \theta \]
取对数求导，得：
\[ \ln L(\theta) = 2 \ln \left(\frac{\theta}{2}\right) + 2 \ln \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) + \ln \theta \]
\[ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{2}{\theta} - \frac{3}{1 - \frac{3\theta}{2}} + \frac{1}{\theta} = 0 \]
\[ \frac{3}{\theta} = \frac{3}{1 - \frac{3\theta}{2}} \]
\[ 1 - \frac{3\theta}{2} = \theta \]
\[ \theta = \frac{2}{5} \]
总体X的分布律为 $\begin{pmatrix}1&2&3\\θ&θ/2&1-3θ/2\end{pmatrix}$，则总体期望为：
\[ E(X) = 1 \cdot θ + 2 \cdot \frac{θ}{2} + 3 \cdot \left(1 - \frac{3θ}{2}\right) = θ + θ + 3 - \frac{9θ}{2} = 3 - \frac{5θ}{2} \]
步骤 2：计算样本均值
样本观测值为2，3，2，1，3，样本均值为：
\[ \bar{X} = \frac{2 + 3 + 2 + 1 + 3}{5} = \frac{11}{5} \]
步骤 3：求矩估计值
令总体期望等于样本均值，即 $E(X) = \bar{X}$，解得：
\[ 3 - \frac{5θ}{2} = \frac{11}{5} \]
\[ \frac{5θ}{2} = 3 - \frac{11}{5} = \frac{15}{5} - \frac{11}{5} = \frac{4}{5} \]
\[ θ = \frac{8}{25} \]
步骤 4：求最大似然估计值
似然函数为：
\[ L(\theta) = \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right)^2 \theta \]
取对数求导，得：
\[ \ln L(\theta) = 2 \ln \left(\frac{\theta}{2}\right) + 2 \ln \left(1 - \frac{3\theta}{2}\right) + \ln \theta \]
\[ \frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{2}{\theta} - \frac{3}{1 - \frac{3\theta}{2}} + \frac{1}{\theta} = 0 \]
\[ \frac{3}{\theta} = \frac{3}{1 - \frac{3\theta}{2}} \]
\[ 1 - \frac{3\theta}{2} = \theta \]
\[ \theta = \frac{2}{5} \]