设 theta 是一批产品的不合格品率，从中抽取 8 个产品进行检验，发现 3 个不合格品，假如 theta 的先验分布为(1) theta sim U(0,1)(2) theta sim pi(theta) = } 2(1-theta), & 0 < theta < 1 0, & (其它场合) 分别求 theta 的后验分布。

我们来逐步解决这个问题。

题目要求：在给定数据（从一批产品中抽取 8 个，发现 3 个不合格品）的前提下，分别在两种不同的先验分布下，求不合格品率 $\theta$ 的后验分布。

一、基本设定

• 设 $\theta$：不合格品率，即任取一个产品为不合格品的概率。
• 抽样：从总体中独立抽取 $n = 8$ 个产品，观察到 $x = 3$ 个不合格品。
• 抽样模型（似然函数）：二项分布
  $X \mid \theta \sim \text{Binomial}(n=8, \theta)$
  所以似然函数为：
  $p(x = 3 \mid \theta) = \binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5$

根据贝叶斯定理，后验分布为：
$\pi(\theta \mid x) \propto p(x \mid \theta) \cdot \pi(\theta)$
即：后验 ∝ 似然 × 先验

我们分别处理两种先验情况。

（1）先验：$\theta \sim U(0,1)$，即均匀分布

先验密度：

$\pi(\theta) = 1, \quad 0 < \theta < 1$

后验密度：

$\pi(\theta \mid x=3) \propto \underbrace{\binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5}_{\text{似然}} \times \underbrace{1}_{\text{先验}} \propto \theta^3 (1 - \theta)^5$

忽略常数项（包括组合数，因为它是与 $\theta$ 无关的常数），我们得到：
$\pi(\theta \mid x=3) \propto \theta^3 (1 - \theta)^5, \quad 0 < \theta < 1$

这正是 Beta 分布 的核。

回忆：Beta 分布的密度函数为：
$\text{Beta}(\alpha, \beta): \quad f(\theta) \propto \theta^{\alpha-1} (1 - \theta)^{\beta-1}$

对比可得：

• $\alpha - 1 = 3 \Rightarrow \alpha = 4$
• $\beta - 1 = 5 \Rightarrow \beta = 6$

所以后验分布为：
$\theta \mid x=3 \sim \text{Beta}(4, 6)$

（2）先验：$\pi(\theta) = 2(1 - \theta), \quad 0 < \theta < 1$

我们来求后验分布：
$\pi(\theta \mid x=3) \propto p(x=3 \mid \theta) \cdot \pi(\theta) = \left[ \binom{8}{3} \theta^3 (1 - \theta)^5 \right] \cdot \left[ 2(1 - \theta) \right]$

同样，$\binom{8}{3}$ 和 2 都是常数，可以忽略（归一化时会处理），所以：
$\pi(\theta \mid x) \propto \theta^3 (1 - \theta)^5 \cdot (1 - \theta) = \theta^3 (1 - \theta)^6$

即：
$\pi(\theta \mid x=3) \propto \theta^3 (1 - \theta)^6, \quad 0 < \theta < 1$

再次对应 Beta 分布的核：

• $\alpha - 1 = 3 \Rightarrow \alpha = 4$
• $\beta - 1 = 6 \Rightarrow \beta = 7$

所以后验分布为：
$\theta \mid x=3 \sim \text{Beta}(4, 7)$

验证先验（2）是否为合法密度函数

题目给出的先验是 $\pi(\theta) = 2(1 - \theta), 0 < \theta < 1$，我们验证它是否积分为 1：

$\int_0^1 2(1 - \theta)\, d\theta = 2 \int_0^1 (1 - \theta)\, d\theta = 2 \left[ \theta - \frac{\theta^2}{2} \right]_0^1 = 2 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

合法，是一个有效的密度函数。

实际上，$\pi(\theta) = 2(1 - \theta)$ 是 $\text{Beta}(1,2)$ 分布的密度函数，因为：
$\text{Beta}(1,2): \quad f(\theta) = \frac{\Gamma(3)}{\Gamma(1)\Gamma(2)} \theta^{0} (1 - \theta)^1 = 2(1 - \theta)$

所以这个先验相当于 $\theta \sim \text{Beta}(1,2)$

而似然为二项分布，共轭先验正是 Beta 分布，因此后验也应为 Beta 分布。

更新规则为：

• $\alpha_{\text{后验}} = \alpha_{\text{先验}} + x = 1 + 3 = 4$
• $\beta_{\text{后验}} = \beta_{\text{先验}} + n - x = 2 + 8 - 3 = 7$

所以后验为 $\text{Beta}(4,7)$，与上面一致。

最终答案：

（1）当先验为 $\theta \sim U(0,1)$，即 $\text{Beta}(1,1)$ 时：

后验分布为：
$\theta \mid x=3 \sim \text{Beta}(4, 6)$

（2）当先验为 $\pi(\theta) = 2(1 - \theta),\ 0 < \theta < 1$，即 $\text{Beta}(1,2)$ 时：

后验分布为：
$\theta \mid x=3 \sim \text{Beta}(4, 7)$

答案总结：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\quad \theta \mid x=3 \sim \mathrm{Beta}(4,\ 6) \\&(2)\quad \theta \mid x=3 \sim \mathrm{Beta}(4,\ 7)\end{aligned} }$