题目

8.(填空题，20分)设随机变量X~N(1，10²)，则概率P(|X-1|>19.6)=____。(注： Phi (1.96)=0.975)

8.(填空题，20分)设随机变量X~N(1，10²)，则概率P{|X-1|>19.6}=____。(注： $\Phi $(1.96)=0.975)

题目解答

答案

为了求解概率 $ P\{|X-1| > 19.6\} $，我们首先需要将随机变量 $ X $ 标准化。已知 $ X \sim N(1, 10^2) $，即 $ X $ 服从均值为1，方差为100的正态分布。标准正态变量 $ Z $ 可以通过以下变换得到： \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{10} \] 其中，$ \mu = 1 $ 是均值，$ \sigma = 10 $ 是标准差。现在，我们需要将不等式 $ |X-1| > 19.6 $ 转换为关于 $ Z $ 的不等式： \[ |X-1| > 19.6 \implies \left| \frac{X-1}{10} \right| > \frac{19.6}{10} \implies |Z| > 1.96 \] 概率 $ P\{|Z| > 1.96\} $ 可以写成： \[ P\{|Z| > 1.96\} = P(Z > 1.96) + P(Z < -1.96) \] 由于标准正态分布是关于0对称的，我们有 $ P(Z < -1.96) = P(Z > 1.96) $。因此： \[ P\{|Z| > 1.96\} = 2P(Z > 1.96) \] 接下来，我们需要找到 $ P(Z > 1.96) $。根据标准正态分布的性质，我们知道： \[ P(Z \leq 1.96) = \Phi(1.96) = 0.975 \] 因此： \[ P(Z > 1.96) = 1 - P(Z \leq 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025 \] 将这个值代入 $ P\{|Z| > 1.96\} $ 的表达式中，我们得到： \[ P\{|Z| > 1.96\} = 2 \times 0.025 = 0.05 \] 所以，概率 $ P\{|X-1| > 19.6\} $ 为： \[ \boxed{0.05} \]

解析

本题考查正态分布的标准化以及标准正态分布的概率计算。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件，随机变量$X$服从正态分布$N(1,10^{2})$，即均值$\mu = 1$，方差$\sigma^{2}=10^{2}$，那么标准差$\sigma = 10$。
  2. 为了方便计算概率，需要将随机变量$X$进行标准化，根据标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，将$X$转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$。
  3. 把不等式$\vert X - 1\vert>19.6$进行变形，使其变为关于标准正态变量$Z$的不等式。
  4. 利用标准正态分布的对称性计算$P\{\vert Z\vert>1.96\}$。
  5. 根据已知条件$\varPhi(1.96)=0.975$，结合标准正态分布的性质$P(Z\leq z)=\varPhi(z)$以及$P(Z > z)=1 - P(Z\leq z)$，计算出最终结果。

具体计算过程如下：

  • 步骤一：标准化随机变量$X$
    已知$X\sim N(1,10^{2})$，根据标准化公式$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu = 1$，$\sigma = 10$，可得$Z=\frac{X - 1}{10}\sim N(0,1)$。
  • 步骤二：将不等式$\vert X - 1\vert>19.6$转化为关于$Z$的不等式
    由$\vert X - 1\vert>19.6$，两边同时除以$10$，得到$\left|\frac{X - 1}{10}\right|>\frac{19.6}{10}$，即$\vert Z\vert>1.96$。
    所以$P\{\vert X - 1\vert>19.6\}=P\{\vert Z\vert>1.96\}$。
  • 步骤三：计算$P\{\vert Z\vert>1.96\}$
    根据绝对值不等式的性质$\vert Z\vert>1.96$等价于$Z > 1.96$或$Z < - 1.96$，所以$P\{\vert Z\vert>1.96\}=P(Z > 1.96)+P(Z < - 1.96)$。
    因为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$关于$y$轴对称，所以$P(Z < - 1.96)=P(Z > 1.96)$，则$P\{\vert Z\vert>1.96\}=2P(Z > 1.96)$。
  • 步骤四：计算$P(Z > 1.96)$
    已知$\varPhi(1.96)=P(Z\leq1.96)=0.975$，根据概率的基本性质$P(Z > 1.96)=1 - P(Z\leq1.96)$，可得$P(Z > 1.96)=1 - 0.975 = 0.025$。
  • 步骤五：计算最终结果
    将$P(Z > 1.96)=0.025$代入$P\{\vert Z\vert>1.96\}=2P(Z > 1.96)$，可得$P\{\vert Z\vert>1.96\}=2\times0.025 = 0.05$。