题目
设随机变量 X 服从正态分布 N(theta,1)，随机变量 Y 服从正态分布 N(theta,4)，则 P(|X-theta|A. 大于B. 等于C. 小于D. 随theta不同而不确定
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\theta,1)$，随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(\theta,4)$，则 $P(|X-\theta|< 1)$ ____ $P(|Y-\theta|< 2)$
A. 大于
B. 等于
C. 小于
D. 随$\theta$不同而不确定
题目解答
答案
B. 等于
解析
步骤 1：标准化随机变量 $X$
设随机变量 $X \sim N(\theta, 1)$，则 $Z = X - \theta \sim N(0, 1)$。因此，$P(|X - \theta| < 1)$ 可以转化为 $P(-1 < Z < 1)$。
步骤 2：标准化随机变量 $Y$
设随机变量 $Y \sim N(\theta, 4)$，则 $W = \frac{Y - \theta}{2} \sim N(0, 1)$。因此，$P(|Y - \theta| < 2)$ 可以转化为 $P(-1 < W < 1)$。
步骤 3：比较两个概率
由于 $Z$ 和 $W$ 均服从标准正态分布，$P(-1 < Z < 1) = P(-1 < W < 1)$。因此，两概率相等。
设随机变量 $X \sim N(\theta, 1)$，则 $Z = X - \theta \sim N(0, 1)$。因此，$P(|X - \theta| < 1)$ 可以转化为 $P(-1 < Z < 1)$。
步骤 2：标准化随机变量 $Y$
设随机变量 $Y \sim N(\theta, 4)$，则 $W = \frac{Y - \theta}{2} \sim N(0, 1)$。因此，$P(|Y - \theta| < 2)$ 可以转化为 $P(-1 < W < 1)$。
步骤 3：比较两个概率
由于 $Z$ 和 $W$ 均服从标准正态分布，$P(-1 < Z < 1) = P(-1 < W < 1)$。因此，两概率相等。