函数 f(x) = x^2 在区间 (-infty, +infty) 内有界A. 对B. 错

本题考查函数有界性的概念。解题思路是根据函数有界性的定义来判断函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, +\infty)$内是否有界。

函数有界性的定义为：设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在正数$M$，使得对于任意的$x\in D$，都有$\vert f(x)\vert\leq M$，则称函数$f(x)$在$D$上有界；否则称函数$f(x)$在$D$上无界。

下面用反证法来证明函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, +\infty)$内无界：
假设函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, +\infty)$内有界，即存在正数$M$，使得对于任意的$x\in (-\infty, +\infty)$，都有$\vert f(x)\vert=\vert x^2\vert\leq M$。
但是，当$x$取值足够大时，比如取$x = \sqrt{M + 1}$，此时$f(x)=x^2 = (\sqrt{M + 1})^2 = M + 1$。
那么$\vert f(x)\vert=\vert M + 1\vert = M + 1$，而$M + 1\gt{}M$，这与$\vert f(x)\vert\leq M$矛盾。
所以假设不成立，即函数$f(x)=x^2$在区间$(-\infty, +\infty)$内无界。