题目

52.(简答题) 设X_(1),X_(2),... X_(n)是来自正态总体N(mu,sigma^2)的样本， hat(beta)=sum_(i=1)^nC_(i)X_(i)，其中C_(i)in R^+(i=1,2... n) 且sum_(i=1)^nC_(i)=1;证明hat(beta)是总体均值μ的无偏估计。

52.(简答题) 设$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本， $\hat{\beta}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}X_{i}$，其中$C_{i}\in R^{+}(i=1,2\cdots n)$ 且$\sum_{i=1}^{n}C_{i}=1$;证明$\hat{\beta}$是总体均值μ的无偏估计。

题目解答

答案

由题意，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，故 $E(X_i) = \mu$。计算 $\hat{\beta}$ 的期望： \[ E(\hat{\beta}) = E\left(\sum_{i=1}^{n} C_i X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} C_i E(X_i) = \sum_{i=1}^{n} C_i \mu = \mu \sum_{i=1}^{n} C_i = \mu \cdot 1 = \mu \] 由于 $E(\hat{\beta}) = \mu$，$\hat{\beta}$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计。 \[ \boxed{\hat{\beta} \text{ 是总体均值 } \mu \text{ 的无偏估计}} \]