题目

7.填空题若随机变量X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=____，则rho_(XY)=_.

7.填空题 若随机变量X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=____，则$\rho_{XY}=\_.$

题目解答

答案

根据题目要求，若随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则： 1. 协方差 $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。由于 $X$ 和 $Y$ 独立，$E(XY) = E(X)E(Y)$，故 $Cov(X, Y) = 0$。 2. 相关系数 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$，其中 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的标准差。由 $Cov(X, Y) = 0$，可得 $\rho_{XY} = 0$（假设 $\sigma_X \neq 0$ 且 $\sigma_Y \neq 0$）。 答案：$Cov(X, Y) = 0$，$\rho_{XY} = 0$。

解析

本题考查随机变量的协方差和相关系数的性质，以及随机变量相互独立的概念。解题思路是先根据随机变量相互独立的性质求出协方差，再利用协方差的结果求出相关系数。

  1. 计算协方差 $Cov(X,Y)$：
    • 协方差的定义公式为 $Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)$。
    • 当随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，根据独立随机变量的性质可知 $E(XY)=E(X)E(Y)$。
    • 将 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 代入协方差公式 $Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y)$ 中，可得 $Cov(X,Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0$。
  2. 计算相关系数 $\rho_{XY}$：
    • 相关系数的定义公式为 $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$，其中 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的标准差，且假设 $\sigma_X\neq0$ 且 $\sigma_Y\neq0$。
    • 由前面计算已得 $Cov(X,Y) = 0$，将其代入相关系数公式 $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ 中，可得 $\rho_{XY}=\frac{0}{\sigma_X\sigma_Y}=0$。