题目

21.(填空题)42、设随机变量X与Y的相关系数 p_(XY)=0.7, 若Z=X+0.8, 则Y与Z的相关系数为 (答案用小数表示,保留两位小数)

21.(填空题)42、设随机变量X与Y的相关系数 $p_{XY}=0.7$, 若Z=X+0.8, 则Y与Z的相关系数为 (答案用小数表示,保留两位小数)

题目解答

答案

为了求出随机变量 $Y$ 和 $Z$ 的相关系数，其中 $Z = X + 0.8$，我们首先回顾相关系数的定义。两个随机变量 $U$ 和 $V$ 的相关系数由下式给出： \[ \rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sigma_U \sigma_V} \] 其中 $\text{Cov}(U, V)$ 是 $U$ 和 $V$ 的协方差，$\sigma_U$ 和 $\sigma_V$ 分别是 $U$ 和 $V$ 的标准差。在这个问题中，我们已知 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 $\rho_{XY} = 0.7$。我们需要求出 $Y$ 和 $Z$ 的相关系数，其中 $Z = X + 0.8$。首先，我们计算 $Y$ 和 $Z$ 的协方差： \[ \text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X + 0.8) \] 利用协方差的性质，即协方差是双线性的，我们有： \[ \text{Cov}(Y, X + 0.8) = \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, 0.8) \] 由于常数与随机变量的协方差为零，$\text{Cov}(Y, 0.8) = 0$。因此： \[ \text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X) = \rho_{XY} \sigma_Y \sigma_X = 0.7 \sigma_Y \sigma_X \] 接下来，我们需要找到 $Z$ 的标准差。 $Z$ 的方差为： \[ \sigma_Z^2 = \text{Var}(Z) = \text{Var}(X + 0.8) \] 利用方差的性质，即向随机变量添加常数不会改变其方差，我们有： \[ \text{Var}(X + 0.8) = \text{Var}(X) = \sigma_X^2 \] 因此， $Z$ 的标准差为： \[ \sigma_Z = \sqrt{\sigma_X^2} = \sigma_X \] 现在，我们可以求出 $Y$ 和 $Z$ 的相关系数： \[ \rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{0.7 \sigma_Y \sigma_X}{\sigma_Y \sigma_X} = 0.7 \] 因此， $Y$ 和 $Z$ 的相关系数为： \[ \boxed{0.70} \]

解析

本题考察相关系数的性质，关键在于利用协方差和方差的性质计算随机变量$Y$与$Z$的相关系数。

步骤1：回顾相关系数定义

两个随机变量$U$和$V$的相关系数为：
$\rho_{UV} = \frac{\text{Cov}(U, V)}{\sigma_U \sigma_V}$
其中$\text{Cov}(U, V)$是协方差，$\sigma_U$、$\sigma_V$是标准差。

步骤2：计算$\text{Cov}(Y, Z)$

已知$Z = X + 0.8$，根据协方差的线性性质：
$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X + 0.8) = \text{Cov}(Y, X) + \text{Cov}(Y, 0.8)$
常数与随机变量的协方差为0，故$\text{Cov}(Y, 0.8) = 0$，因此：
$\text{Cov}(Y, Z) = \text{Cov}(Y, X)$
又因为$\text{Cov}(Y, X) = \rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y = 0.7 \sigma_X \sigma_Y$，所以：
$\text{Cov}(Y, Z) = 0.7 \sigma_X \sigma_Y$

步骤3：计算$\sigma_Z$

根据方差性质，添加常数不改变方差：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(X + 0.8) = \text{Var}(X) = \sigma_X^2$
故$\sigma_Z = \sqrt{\text{Var}(Z)} = \sigma_X$。

步骤4：计算$\rho_{YZ}$

代入相关系数公式：
$\rho_{YZ} = \frac{\text{Cov}(Y, Z)}{\sigma_Y \sigma_Z} = \frac{0.7 \sigma_X \sigma_Y}{\sigma_Y \sigma_X} = 0.7$
保留两位小数为$0.70$。