在参数未知的正态总体中随机抽样， |overline(X) - mu| geq ()的概率为5%A. 2.58B. 1.96aC. t_(0.05/2, v) SD. t_(0.05/2, v) S_(overline{X)}E. 1.96

本题考查正态总体参数未知时的抽样分布及概率计算。核心思路是：

1. 参数未知时，样本均值服从t分布；
2. 双侧检验中，概率5%对应双侧分位数；
3. 临界值由t分布的临界值乘以标准误。

关键点在于区分t分布与z分布的应用场景，以及标准误的正确表达式。

步骤1：确定抽样分布

总体参数未知时，样本均值 $\overline{X}$ 的抽样分布服从 t分布，其形式为：
$t = \frac{\overline{X} - \mu}{S_{\overline{X}}}$
其中 $S_{\overline{X}} = \frac{S}{\sqrt{n}}$ 是标准误，$S$ 为样本标准差，自由度 $v = n - 1$。

步骤2：确定双侧临界值

概率5%对应双侧检验，需取 $\alpha/2 = 0.025$ 的分位数，即 $t_{0.05/2, v}$。

步骤3：构建不等式

要求 $|\overline{X} - \mu| \geq$ 某值的概率为5%，代入t统计量公式得：
$|\overline{X} - \mu| \geq t_{0.05/2, v} \cdot S_{\overline{X}}$

选项分析

• A、E：1.96或2.58是z分布的临界值，适用于总体方差已知或大样本；
• B、C：混淆了标准差$S$与标准误$S_{\overline{X}}$；
• D：正确结合了t分布临界值与标准误。