题目
设随机变量X sim N(2, sigma^2)，若P0 < X < 4 = 0.3，则PX < 0____
设随机变量$X \sim N(2, \sigma^2)$，若$P\{0 < X < 4\} = 0.3$，则$P\{X < 0\}$____
题目解答
答案
我们已知随机变量 $ X \sim N(2, \sigma^2) $，并且：
$$
P(0 < X < 4) = 0.3
$$
要求的是：
$$
P(X < 0)
$$
---
### 第一步：标准化变量
令：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 2}{\sigma}
$$
则 $ Z \sim N(0, 1) $，即标准正态分布。
我们有：
$$
P(0 < X < 4) = P\left(\frac{0 - 2}{\sigma} < Z < \frac{4 - 2}{\sigma}\right) = P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right)
$$
根据题设：
$$
P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 0.3
$$
---
### 第二步：利用对称性
标准正态分布是对称的，因此：
$$
P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 2 \cdot P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right)
$$
所以：
$$
2 \cdot P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 0.3 \Rightarrow P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 0.15
$$
查标准正态分布表（或使用计算器）：
$$
P(0 < Z < z) = 0.15 \Rightarrow z \approx 0.385
$$
所以：
$$
\frac{2}{\sigma} = 0.385 \Rightarrow \sigma = \frac{2}{0.385} \approx 5.1948
$$
---
### 第三步：求 $ P(X < 0) $
$$
P(X < 0) = P\left(Z < \frac{0 - 2}{\sigma}\right) = P\left(Z < -\frac{2}{\sigma}\right)
$$
由于我们已经知道：
$$
\frac{2}{\sigma} \approx 0.385 \Rightarrow -\frac{2}{\sigma} \approx -0.385
$$
查标准正态分布表：
$$
P(Z < -0.385) = 1 - P(Z < 0.385) = 1 - 0.65 = 0.35
$$
---
### 最终答案：
$$
\boxed{P(X < 0) = 0.35}
$$
解析
本题考查正态分布的性质及标准化变换的应用。解题的关键思路是先将给定的正态分布随机变量进行标准化变换，利用标准正态分布的对称性求出相关概率，进而确定参数关系，最后再通过标准化变换求出所求概率。
- 标准化变量：
已知随机变量$X \sim N(2, \sigma^2)$，令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 2}{\sigma}$，则$Z \sim N(0, 1)$，即标准正态分布。
对于$P(0 < X < 4)$，进行标准化变换可得：
$P(0 < X < 4) = P\left(\frac{0 - 2}{\sigma} < Z < \frac{4 - 2}{\sigma}\right) = P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right)$
已知$P(0 < X < 4) = 0.3$，所以$P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 0.3$。 - 利用对称性：
因为标准正态分布$Z \sim N(0, 1)$是关于$z = 0$对称的，所以$P\left(-\frac{2}{\sigma} < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 2 \cdot P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right)$。
由$2 \cdot P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = 0.3$，可得$P\left(0 < Z < \frac{2}{\sigma}\right) = \frac{0.3}{2}= 0.15$。
查标准正态分布表（或使用计算器），当$P(0 < Z < z) = 0.15$时，$z \approx 0.385$，即$\frac{2}{\sigma} = 0.385$，解得$\sigma = \frac{2}{0.385} \approx 5.1948$。 - 求$P(X < 0)$：
对$P(X < 0)$进行标准化变换：
$P(X < 0) = P\left(Z < \frac{0 - 2}{\sigma}\right) = P\left(Z < -\frac{2}{\sigma}\right)$
因为$\frac{2}{\sigma} \approx 0.385$，所以$-\frac{2}{\sigma} \approx -0.385$。
根据标准正态分布的性质$P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$，可得$P(Z < -0.385) = 1 - P(Z < 0.385)$。
查标准正态分布表得$P(Z < 0.385) = 0.65$，所以$P(Z < -0.385) = 1 - 0.65 = 0.35$，即$P(X < 0) = 0.35$。