一、设是来自总体的样本.记,试确定下列统计量的分布:(1);(2);(3);(4).

步骤 1：确定$\overline{X}$的分布
由于$X_1, X_2, X_3$是来自总体$N(0,3)$的样本，根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}X_i$的分布为$N(0,1)$，因为总体方差为3，样本均值的方差为$\frac{3}{3}=1$。

步骤 2：确定$\frac{1}{9}(\sum_{i=1}^{3}X_i)^2$的分布
由于$\overline{X}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}X_i$，则$(\sum_{i=1}^{3}X_i)^2=9\overline{X}^2$。因为$\overline{X}\sim N(0,1)$，所以$\overline{X}^2\sim \chi^2(1)$，因此$\frac{1}{9}(\sum_{i=1}^{3}X_i)^2=\overline{X}^2\sim \chi^2(1)$。

步骤 3：确定$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}(X_i-\overline{X})^2$的分布
根据样本方差的定义，$S^2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3}(X_i-\overline{X})^2$，所以$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}(X_i-\overline{X})^2=\frac{2}{3}S^2$。因为$S^2$的分布为$\chi^2(2)$，所以$\frac{2}{3}S^2\sim \chi^2(2)$。

步骤 4：确定$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{3}}$的分布
由于$\overline{X}\sim N(0,1)$，$S^2\sim \chi^2(2)$，且$\overline{X}$与$S^2$独立，所以$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{3}}\sim t(2)$。