某居民新区居住 10000 户 ，夜间每户用电的概率都为 0.8，各户用电开关独立，求夜间用电户数在 7900 至 8100 之间的概率 ((2.5)=0.9938 )

考查要点：本题主要考查二项分布的正态近似及其应用，涉及中心极限定理的理解和标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

1. 识别分布类型：用电户数服从二项分布$B(n=10000, p=0.8)$，但因样本量$n$极大，可用正态分布近似。
2. 计算均值与方差：均值$\mu = np = 8000$，方差$\sigma^2 = np(1-p) = 1600$，标准差$\sigma = 40$。
3. 标准化处理：将区间端点转换为标准正态变量$Z$，利用题目给定的$\Phi(2.5)=0.9938$计算概率差。

破题关键点：

• 正态近似条件：确认$n$足够大且$np$、$n(1-p)$均较大，保证近似有效性。
• 标准化公式：正确应用$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，避免计算错误。
• 对称性简化：利用$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$简化计算。

设用电户数为$X$，则$X \sim B(10000, 0.8)$。根据中心极限定理，$X$近似服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，其中：

• 均值：$\mu = np = 10000 \times 0.8 = 8000$
• 方差：$\sigma^2 = np(1-p) = 10000 \times 0.8 \times 0.2 = 1600$
• 标准差：$\sigma = \sqrt{1600} = 40$

将区间$[7900, 8100]$标准化为标准正态变量：

1. 上限标准化：
   $Z_1 = \frac{8100 - 8000}{40} = 2.5$
2. 下限标准化：
   $Z_2 = \frac{7900 - 8000}{40} = -2.5$

利用标准正态分布函数$\Phi(z)$计算概率：
$P(7900 \leq X \leq 8100) = \Phi(2.5) - \Phi(-2.5)$
根据对称性$\Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5)$，代入已知$\Phi(2.5) = 0.9938$：
$P = 0.9938 - (1 - 0.9938) = 2 \times 0.9938 - 1 = 0.9876$