题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，sigma^2 为已知，mu 为未知，X_1, X_2, ..., X_(10) 为来自总体的样本，对给定的 alpha (0 < alpha < 1)，则参数 mu 的置信度为 1 - alpha 的置信区间为（ ）。A. ( overline(X) - u_((alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(10)), overline(X) + u_((alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(10)) )B. ( overline(X) - u_(1 - (alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(10)), overline(X) + u_(1 - (alpha)/(2)) (sigma)/(sqrt(10)) )C. ( overline(X) - t_(1 - (alpha)/(2))(9) (sigma)/(sqrt(10)), overline(X) + t_(1 - (alpha)/(2))(9) (sigma)/(sqrt(10)) )D. ( overline(X) - t_((alpha)/(2))(9) (sigma)/(sqrt(10)), overline(X) + t_((alpha)/(2))(9) (sigma)/(sqrt(10)) )

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 为已知，$\mu$ 为未知，$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体的样本，对给定的 $\alpha (0 < \alpha < 1)$，则参数 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间为（ ）。

A. $\left( \overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{10}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{10}} \right)$

B. $\left( \overline{X} - u_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{10}}, \overline{X} + u_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{10}} \right)$

C. $\left( \overline{X} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}}(9) \frac{\sigma}{\sqrt{10}}, \overline{X} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}}(9) \frac{\sigma}{\sqrt{10}} \right)$

D. $\left( \overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(9) \frac{\sigma}{\sqrt{10}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(9) \frac{\sigma}{\sqrt{10}} \right)$

题目解答

答案

已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知，样本大小 $n = 10$。样本均值 $\bar{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。标准化后得：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
对于置信度 $1-\alpha$，有：
$P\left(-u_{\alpha/2} \leq Z \leq u_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$
其中 $u_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。解得 $\mu$ 的置信区间为：
$\left(\bar{X} - u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{10}}, \bar{X} + u_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{10}}\right)$
选项中，只有选项 A 符合该形式。
答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查正态总体均值在方差已知情况下的置信区间的求解。解题的关键思路是利用样本均值的分布性质，通过标准化变换构造出服从标准正态分布的统计量，再根据置信度的定义来确定参数 $\mu$ 的置信区间。

  1. 首先明确样本均值的分布：
    • 已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 为来自总体的样本，根据正态分布的性质，样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$ 服从正态分布，且 $\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$，这里 $n = 10$，即 $\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{10}\right)$。
  2. 然后进行标准化变换：
    • 对 $\overline{X}$ 进行标准化，令 $Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，由于 $\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$，所以 $Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{10}}\sim N(0,1)$，即 $Z$ 服从标准正态分布。
  3. 接着根据置信度的定义确定区间：
    • 对于给定的置信度 $1 - \alpha(0\lt\alpha\lt1)$，我们要找到一个区间，使得 $P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq u_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$。这里 $u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，也就是标准正态分布曲线下右侧面积为 $\frac{\alpha}{2}$ 时对应的 $z$ 值。
    • 将 $Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{10}}$ 代入 $P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq u_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$ 中，得到 $P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{10}}\leq u_{\frac{\alpha}{2}}\right)=1 - \alpha$。
  4. 最后求解 $\mu$ 的置信区间：
    • 对不等式 $-u_{\frac{\alpha}{2}}\leq\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{10}}\leq u_{\frac{\alpha}{2}}$ 进行求解。
      • 先对不等式各项同时乘以 $\frac{\sigma}{\sqrt{10}}$，得到 $-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}\leq\overline{X}-\mu\leq u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}$。
      • 再对不等式各项进行移项，将 $\overline{X}$ 移到右边，得到 $-\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}\leq-\mu\leq-\overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}$。
      • 最后不等式两边同时乘以 $- 1$，不等号方向改变，得到 $\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}\leq\mu\leq\overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}$。
    • 所以参数 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\left(\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}},\overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{10}}\right)$。