题目
设随机变量 X sim N(0,1)，Y sim N(0,2)，并且 X 与 Y 相互独立，下列哪个随机变量服从自由度为 2 的 chi^2 分布？(）A. (1)/(3)(X+Y)^2B. X^2 + (1)/(2)Y^2C. (1)/(2)(X+Y)^2D. (1)/(3)X^2 + (2)/(3)Y^2
设随机变量 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,2)$，并且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，下列哪个随机变量服从自由度为 2 的 $\chi^2$ 分布？(）
A. $\frac{1}{3}(X+Y)^2$
B. $X^2 + \frac{1}{2}Y^2$
C. $\frac{1}{2}(X+Y)^2$
D. $\frac{1}{3}X^2 + \frac{2}{3}Y^2$
题目解答
答案
B. $X^2 + \frac{1}{2}Y^2$
解析
步骤 1：分析选项A
$X+Y \sim N(0,3)$，则$\frac{1}{3}(X+Y)^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，排除。
步骤 2：分析选项B
$X^2$和$\frac{1}{2}Y^2$分别服从自由度为1的$\chi^2$分布，且独立，其和服从自由度为2的$\chi^2$分布，符合。
步骤 3：分析选项C
$\frac{1}{2}(X+Y)^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，排除。
步骤 4：分析选项D
$\frac{1}{3}X^2$和$\frac{2}{3}Y^2$不满足标准正态分布平方和形式，排除。
$X+Y \sim N(0,3)$，则$\frac{1}{3}(X+Y)^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，排除。
步骤 2：分析选项B
$X^2$和$\frac{1}{2}Y^2$分别服从自由度为1的$\chi^2$分布，且独立，其和服从自由度为2的$\chi^2$分布，符合。
步骤 3：分析选项C
$\frac{1}{2}(X+Y)^2$服从自由度为1的$\chi^2$分布，排除。
步骤 4：分析选项D
$\frac{1}{3}X^2$和$\frac{2}{3}Y^2$不满足标准正态分布平方和形式，排除。