3.[判断题]由方程x-y+(1)/(2)sin y=0所确定的隐函数的导数(dy)/(dx)=(2)/(2-cos x).A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，特别是对含有三角函数项的方程求导时的链式法则应用，以及代数变形能力。

解题核心思路：

1. 对方程两边关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则；
2. 将含有$\frac{dy}{dx}$的项合并，解出$\frac{dy}{dx}$；
3. 关键点在于正确处理$\cos y$项，而非错误地写成$\cos x$。

破题关键：

• 隐函数求导后，$\frac{dy}{dx}$的表达式中应包含$\cos y$，而非$\cos x$，这是题目给出答案错误的直接原因。

对原方程$x - y + \frac{1}{2}\sin y = 0$两边关于$x$求导：

1. 求导过程：

   • $x$的导数为$1$；
   • $-y$的导数为$-\frac{dy}{dx}$（链式法则）；
   • $\frac{1}{2}\sin y$的导数为$\frac{1}{2}\cos y \cdot \frac{dy}{dx}$（链式法则）。

   因此，方程变为：
   $1 - \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

2. 整理并解方程：
   将含$\frac{dy}{dx}$的项合并：
   $-\frac{dy}{dx} + \frac{1}{2}\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = -1.$
   提取公因子$\frac{dy}{dx}$：
   $\frac{dy}{dx} \left( -1 + \frac{1}{2}\cos y \right) = -1.$
   解得：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1 + \frac{1}{2}\cos y} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}\cos y}.$

3. 化简表达式：
   分母变形为$\frac{2 - \cos y}{2}$，因此：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2 - \cos y}.$

结论：正确结果为$\frac{2}{2 - \cos y}$，而题目中给出的是$\frac{2}{2 - \cos x}$，故答案为错误。