题目
设随机变量X与Y相互独立，其联合分布列为Y-|||-x-|||-y1 y2 y3-|||-x1 a 1/9 c-|||-x2 1/9 b 1/3试求联合分布列中的a,b,c
设随机变量X与Y相互独立，其联合分布列为
试求联合分布列中的a,b,c
题目解答
答案
∵
;
∵
∴
又∵所有的概率之和为1，
∴
解析
步骤 1：利用独立性求解b
由于随机变量X与Y相互独立，所以$P(X=x_{2},Y=y_{2})=P(X=x_{2})P(Y=y_{2})$。根据联合分布列，$P(X=x_{2})=\frac{4}{9}+b$，$P(Y=y_{2})=\frac{1}{9}+b$，$P(X=x_{2},Y=y_{2})=b$。因此，$(\frac{4}{9}+b)(\frac{1}{9}+b)=b$，解得$b=\frac{2}{9}$。
步骤 2：利用独立性求解a
同样利用独立性，$P(X=x_{1},Y=y_{1})=P(X=x_{1})P(Y=y_{1})$。根据联合分布列，$P(X=x_{1})=\frac{1}{3}$，$P(Y=y_{1})=\frac{1}{9}+a$，$P(X=x_{1},Y=y_{1})=a$。因此，$\frac{1}{3}(\frac{1}{9}+a)=a$，解得$a=\frac{1}{18}$。
步骤 3：利用概率之和求解c
根据概率之和为1的性质，$a+b+c+\frac{5}{9}=1$。将$a=\frac{1}{18}$和$b=\frac{2}{9}$代入，解得$c=\frac{1}{6}$。
由于随机变量X与Y相互独立，所以$P(X=x_{2},Y=y_{2})=P(X=x_{2})P(Y=y_{2})$。根据联合分布列，$P(X=x_{2})=\frac{4}{9}+b$，$P(Y=y_{2})=\frac{1}{9}+b$，$P(X=x_{2},Y=y_{2})=b$。因此，$(\frac{4}{9}+b)(\frac{1}{9}+b)=b$，解得$b=\frac{2}{9}$。
步骤 2：利用独立性求解a
同样利用独立性，$P(X=x_{1},Y=y_{1})=P(X=x_{1})P(Y=y_{1})$。根据联合分布列，$P(X=x_{1})=\frac{1}{3}$，$P(Y=y_{1})=\frac{1}{9}+a$，$P(X=x_{1},Y=y_{1})=a$。因此，$\frac{1}{3}(\frac{1}{9}+a)=a$，解得$a=\frac{1}{18}$。
步骤 3：利用概率之和求解c
根据概率之和为1的性质，$a+b+c+\frac{5}{9}=1$。将$a=\frac{1}{18}$和$b=\frac{2}{9}$代入，解得$c=\frac{1}{6}$。