设随机变量X与Y相互独立，其联合分布列为Y-|||-x-|||-y1 y2 y3-|||-x1 a 1/9 c-|||-x2 1/9 b 1/3试求联合分布列中的a,b,c

考查要点：本题主要考查独立随机变量的联合分布性质及概率分布的归一性。
解题核心思路：

1. 独立性条件：若X与Y独立，则联合概率等于边缘概率的乘积，即$P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \cdot P(Y=y_j)$。
2. 归一性条件：所有联合概率之和为1。
   破题关键：

• 通过独立性条件建立方程，求解未知数。
• 利用总概率为1的条件验证结果。

步骤1：求$b$

根据独立性，$P(X=x_2, Y=y_2) = P(X=x_2) \cdot P(Y=y_2)$。

• $P(X=x_2) = \frac{1}{9} + b + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + b$
• $P(Y=y_2) = \frac{1}{9} + b$
• 联立方程：
  $(\frac{4}{9} + b)(\frac{1}{9} + b) = b$
  解得$b = \frac{2}{9}$。

步骤2：求$a$

根据独立性，$P(X=x_1, Y=y_2) = P(X=x_1) \cdot P(Y=y_2)$。

• $P(X=x_1) = a + \frac{1}{9} + c$
• $P(Y=y_2) = \frac{1}{9} + b = \frac{1}{3}$（代入$b = \frac{2}{9}$）
• 联立方程：
  $\frac{1}{9} = (a + \frac{1}{9} + c) \cdot \frac{1}{3}$
  结合$P(X=x_1, Y=y_1) = a = P(X=x_1) \cdot P(Y=y_1)$，进一步解得$a = \frac{1}{18}$。

步骤3：求$c$

根据总概率为1：
$a + \frac{1}{9} + c + \frac{1}{9} + b + \frac{1}{3} = 1$
代入$a = \frac{1}{18}$，$b = \frac{2}{9}$，解得$c = \frac{1}{6}$。