3.（5.0分）设方阵A、B、C满足AB=AC，当A满足下列哪个条件时，B=CA. AB=BAB. |A| neq 0C. 方程组AX=0有非零解D. B、C可逆

本题考查矩阵运算以及可逆矩阵的性质，解题的关键在于根据已知条件$AB = AC$，通过对矩阵$A$的性质分析，推导出$B = C$的条件。

1. 已知$AB = AC$，将等式变形为$AB - AC = 0$。
   • 根据矩阵乘法分配律，$AB - AC=A(B - C)=0$。
2. 分析各个选项：
   • 选项A：若$AB = BA$，仅能说明矩阵$A$与$B$可交换，但这并不能保证由$A(B - C)=0$推出$B - C = 0$，即不能得出$B = C$。例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，满足$AB = BA$，且$AB = AC=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$B\neq C$，所以该选项错误。
   • 选项B：若$\vert A\vert\neq0$，根据可逆矩阵的定义，矩阵$A$可逆，即存在$A^{-1}$，使得$A^{-1}A = AA^{-1}=E$（$E$为单位矩阵）。
     • 在$A(B - C)=0$两边同时左乘$A^{-1}$，得到$A^{-1}A(B - C)=A^{-1}0$。
     • 因为$A^{-1}A = E$，$A^{-1}0 = 0$，所以$E(B - C)=0$，即$B - C = 0$，从而$B = C$，所以该选项正确。
   • 选项C：若方程组$AX = 0$有非零解，根据齐次线性方程组有非零解的充要条件可知$\vert A\vert = 0$，此时矩阵$A$不可逆。
     • 那么由$A(B - C)=0$不能推出$B - C = 0$，即不能得出$B = C$。例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$AX = 0$有非零解$X=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，且$AB = AC=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$B\neq C$，所以该选项错误。
   • 选项D：$B$、$C$可逆与由$AB = AC$推出$B = C$没有直接关系。例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$B$、$C$都可逆，且$AB = AC=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，但$B\neq C$，所以该选项错误。