5. (5.0分) 可测集的特征函数在任何可测集上都是可测的。()A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查可测函数的定义及特征函数的可测性判断。

解题核心思路：
特征函数$\chi_E$的可测性由其定义域的可测性决定。若$E$是可测集，则$\chi_E$的取值对应的集合（如$\chi_E > a$时的集合）均为可测集，从而$\chi_E$本身是可测函数。无论在哪个可测集上限制，其可测性均保持。

破题关键点：

1. 特征函数的定义：$\chi_E(x) = \begin{cases} 1, & x \in E, \\ 0, & x \notin E. \end{cases}$
2. 可测函数的判定：若$E$可测，则对任意实数$a$，集合$\{x \mid \chi_E(x) > a\}$为$\emptyset$（当$a \geq 1$）或$E$（当$a < 1$），均为可测集。
3. 限制在可测集上：若$A$是可测集，则$\chi_E$在$A$上的限制等价于$\chi_{E \cap A}$，而$E \cap A$仍可测，故限制后仍为可测函数。

关键步骤解析：

1. 特征函数的可测性：
   若$E$是可测集，则对任意实数$a$，集合$\{x \mid \chi_E(x) > a\}$的取值范围为：

   • 当$a \geq 1$时，$\{x \mid \chi_E(x) > a\} = \emptyset$（可测）；
   • 当$a < 1$时，$\{x \mid \chi_E(x) > a\} = E$（可测）。
     因此，$\chi_E$是可测函数。

2. 在任意可测集上的限制：
   设$A$为任一可测集，则$\chi_E$在$A$上的限制为$\chi_E|_A(x) = \chi_{E \cap A}(x)$。
   由于$E \cap A$是可测集，$\chi_{E \cap A}$仍满足可测函数的定义，故$\chi_E$在$A$上可测。

结论：题目陈述正确，答案为A. 对。