设 F(x) 为随机变量 X 的分布函数 , 则其值域为 ( )。A. （0,1）B. （0,1]C. [0,1)D. [0,1]

分布函数的值域是概率论中的基础概念。根据定义，分布函数$F(x) = P(X \leq x)$，其核心性质包括：

1. 非减性：随着$x$增大，$F(x)$不减；
2. 右连续性：$\lim_{h \to 0^+} F(x+h) = F(x)$；
3. 边界条件：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
4. 取值范围：对任意$x$，$0 \leq F(x) \leq 1$。

关键点在于：当$x$取足够小（如比所有可能取值都小）时，$F(x)=0$；当$x$取足够大（如比所有可能取值都大）时，$F(x)=1$。因此，值域必须包含端点$0$和$1$。

分布函数的值域推导

1. 下界分析：
   当$x \to -\infty$时，$F(x) = P(X \leq x) \to 0$。此时，若$x$小于随机变量的所有可能取值，则$F(x)=0$，说明值域包含$0$。

2. 上界分析：
   当$x \to +\infty$时，$F(x) = P(X \leq x) \to 1$。此时，若$x$大于随机变量的所有可能取值，则$F(x)=1$，说明值域包含$1$。

3. 中间值分析：
   根据概率的非减性，$F(x)$在$0$到$1$之间单调不减，因此所有中间值均被覆盖。

综上，分布函数的值域为闭区间$[0,1]$，对应选项D。