题目
9.7 对140名学生进行了阅读速度x_(1)、阅读能力x_(2)、运算速度y_(1)和运算能力y_(2)的四种测验，所得成绩的相关系数阵为R=}1&0.03&0.24&0.590.03&1&0.06&0.070.24&0.06&1&0.240.59&0.07&0.24&1试对阅读本领与运算本领之间进行典型相关分析。
9.7 对140名学生进行了阅读速度$x_{1}$、阅读能力$x_{2}$、运算速度$y_{1}$和运算能力$y_{2}$的四种测验，所得成绩的相关系数阵为
$$
R=\begin{pmatrix}
1&0.03&0.24&0.59\\
0.03&1&0.06&0.07\\
0.24&0.06&1&0.24\\
0.59&0.07&0.24&1
\end{pmatrix}
$$
试对阅读本领与运算本领之间进行典型相关分析。
题目解答
答案
为了对阅读本领与运算本领之间进行典型相关分析，我们需要找到阅读变量 $ \mathbf{X} = (x_1, x_2) $ 和运算变量 $ \mathbf{Y} = (y_1, y_2) $ 之间的典型相关系数和典型变量。相关系数阵 $ R $ 给定为：
\[
R = \begin{pmatrix}
1 & 0.03 & 0.24 & 0.59 \\
0.03 & 1 & 0.06 & 0.07 \\
0.24 & 0.06 & 1 & 0.24 \\
0.59 & 0.07 & 0.24 & 1
\end{pmatrix}
\]
我们可以将 $ R $ 分块为：
\[
R = \begin{pmatrix}
R_{11} & R_{12} \\
R_{21} & R_{22}
\end{pmatrix}
\]
其中
\[
R_{11} = \begin{pmatrix}
1 & 0.03 \\
0.03 & 1
\end{pmatrix}, \quad
R_{12} = \begin{pmatrix}
0.24 & 0.59 \\
0.06 & 0.07
\end{pmatrix}, \quad
R_{21} = \begin{pmatrix}
0.24 & 0.06 \\
0.59 & 0.07
\end{pmatrix}, \quad
R_{22} = \begin{pmatrix}
1 & 0.24 \\
0.24 & 1
\end{pmatrix}
\]
典型相关系数是矩阵 $ R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} R_{21} $ 的特征值的平方根。首先，我们需要计算 $ R_{11}^{-1} $ 和 $ R_{22}^{-1} $。
\[
R_{11}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 1 - 0.03 \cdot 0.03} \begin{pmatrix}
1 & -0.03 \\
-0.03 & 1
\end{pmatrix} = \frac{1}{0.9991} \begin{pmatrix}
1 & -0.03 \\
-0.03 & 1
\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}
1.0009 & -0.0300 \\
-0.0300 & 1.0009
\end{pmatrix}
\]
\[
R_{22}^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 1 - 0.24 \cdot 0.24} \begin{pmatrix}
1 & -0.24 \\
-0.24 & 1
\end{pmatrix} = \frac{1}{0.9424} \begin{pmatrix}
1 & -0.24 \\
-0.24 & 1
\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}
1.0611 & -0.2547 \\
-0.2547 & 1.0611
\end{pmatrix}
\]
接下来，我们计算 $ R_{11}^{-1} R_{12} $：
\[
R_{11}^{-1} R_{12} \approx \begin{pmatrix}
1.0009 & -0.0300 \\
-0.0300 & 1.0009
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0.24 & 0.59 \\
0.06 & 0.07
\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}
0.2283 & 0.5897 \\
-0.0131 & 0.0400
\end{pmatrix}
\]
然后，我们计算 $ R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} $：
\[
R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} \approx \begin{pmatrix}
0.2283 & 0.5897 \\
-0.0131 & 0.0400
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1.0611 & -0.2547 \\
-0.2547 & 1.0611
\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}
-0.0021 & 0.6444 \\
-0.0006 & 0.0000
\end{pmatrix}
\]
最后，我们计算 $ R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} R_{21} $：
\[
R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} R_{21} \approx \begin{pmatrix}
-0.0021 & 0.6444 \\
-0.0006 & 0.0000
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0.24 & 0.06 \\
0.59 & 0.07
\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}
0.3763 & 0.0433 \\
0.0000 & 0.0000
\end{pmatrix}
\]
矩阵 $ R_{11}^{-1} R_{12} R_{22}^{-1} R_{21} $ 的特征值是 $ 0.3763 $ 和 $ 0 $。因此，典型相关系数是 $ \sqrt{0.3763} \approx 0.6134 $ 和 $ \sqrt{0} = 0 $。
最大的典型相关系数是 $ 0.6134 $。对应的特征向量是 $ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.0300 \end{pmatrix} $ 和 $ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0.24 \\ 0.59 \end{pmatrix} $。
因此，第一对典型变量是：
\[
\mathbf{U}_1 = \mathbf{a}^T \mathbf{X} = 1 \cdot x_1 - 0.03 \cdot x_2 \approx x_1 - 0.03 x_2
\]
\[
\mathbf{V}_1 = \mathbf{b}^T \mathbf{Y} = 0.24 \cdot y_1 + 0.59 \cdot y_2
\]
第一对典型变量的典型相关系数是 $ 0.6134 $。
\[
\boxed{0.6134}
\]
解析
典型相关分析的核心是寻找两组变量之间的线性组合（典型变量），使得它们的相关性最大化。本题中，需要分析阅读变量 $\mathbf{X}=(x_1,x_2)$ 和运算变量 $\mathbf{Y}=(y_1,y_2)$ 之间的典型相关关系。关键步骤包括：
- 分块相关系数矩阵，提取子矩阵 $R_{11}$（阅读变量内部相关）、$R_{22}$（运算变量内部相关）和 $R_{12}$（两组变量间相关）。
- 求逆矩阵 $R_{11}^{-1}$ 和 $R_{22}^{-1}$。
- 构建矩阵 $R_{11}^{-1}R_{12}R_{22}^{-1}R_{21}$，计算其特征值。
- 典型相关系数为特征值的平方根，最大特征值对应最大典型相关系数。
矩阵分块与求逆
将相关系数矩阵 $R$ 分块为：
$R = \begin{pmatrix} R_{11} & R_{12} \\ R_{21} & R_{22} \end{pmatrix}, \quad
R_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0.03 \\ 0.03 & 1 \end{pmatrix}, \quad
R_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 0.24 \\ 0.24 & 1 \end{pmatrix}$
计算 $R_{11}^{-1}$ 和 $R_{22}^{-1}$：
$R_{11}^{-1} \approx \begin{pmatrix} 1.0009 & -0.0300 \\ -0.0300 & 1.0009 \end{pmatrix}, \quad
R_{22}^{-1} \approx \begin{pmatrix} 1.0611 & -0.2547 \\ -0.2547 & 1.0611 \end{pmatrix}$
矩阵乘法与特征值计算
- 计算 $R_{11}^{-1}R_{12}$：
$R_{11}^{-1}R_{12} \approx \begin{pmatrix} 0.2283 & 0.5897 \\ -0.0131 & 0.0400 \end{pmatrix}$ - 计算 $R_{11}^{-1}R_{12}R_{22}^{-1}$：
$R_{11}^{-1}R_{12}R_{22}^{-1} \approx \begin{pmatrix} -0.0021 & 0.6444 \\ -0.0006 & 0.0000 \end{pmatrix}$ - 计算 $R_{11}^{-1}R_{12}R_{22}^{-1}R_{21}$：
$R_{11}^{-1}R_{12}R_{22}^{-1}R_{21} \approx \begin{pmatrix} 0.3763 & 0.0433 \\ 0.0000 & 0.0000 \end{pmatrix}$ - 特征值为 $0.3763$ 和 $0$，对应典型相关系数为 $\sqrt{0.3763} \approx 0.6134$ 和 $0$。
典型变量
最大特征值 $0.3763$ 对应的特征向量为 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.03 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0.24 \\ 0.59 \end{pmatrix}$，典型变量为：
$\mathbf{U}_1 = x_1 - 0.03x_2, \quad \mathbf{V}_1 = 0.24y_1 + 0.59y_2$