若任何 n 维向量都是线性方程组 A_(m times n) x = 0 的解，则().A. r(A) = nB. 0 C. A = OD. r(A) = m

本题考查齐次线性方程组解的性质以及矩阵秩的相关知识。解题的关键在于根据已知条件“任何$n$维向量都是线性方程组$A_{m \times n} x = 0$的解”，分析出方程组解的情况，进而得出矩阵$A$的性质。

1. 首先明确齐次线性方程组解的判定定理：对于齐次线性方程组$A_{m \times n} x = 0$，它的解空间的维数$N(A)$（即基础解系所含向量的个数）与矩阵$A$的秩$r(A)$满足关系$N(A)=n - r(A)$，其中$n$是未知数的个数。
2. 已知任何$n$维向量都是方程组$A_{m \times n} x = 0$的解，这意味着该方程组的解空间是整个$n$维向量空间$\mathbb{R}^n$。所以解空间的维数$N(A)=n$。
3. 由$N(A)=n - r(A)$且$N(A)=n$，可得$n=n - r(A)$。
   • 对$n=n - r(A)$进行求解，移项可得$r(A)=n - n = 0$。
4. 对于一个$m\times n$矩阵$A$，矩阵的秩$r(A)$定义为矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数。当$r(A)=0$时，说明矩阵$A$的所有行向量和列向量都是零向量，即$A = O$（零矩阵）。