【国考2010-46】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）A. 12B. 10C. 9D. 7

考查要点：本题属于排列组合问题，主要考查隔板法的应用，以及如何将实际问题转化为数学模型。

解题核心思路：
题目要求将30份材料分发给3个部门，每个部门至少9份。关键在于先满足最低分配要求，再处理剩余部分。

1. 调整变量：每个部门先分配9份，剩余材料数为 $30 - 3 \times 9 = 3$ 份。
2. 转化为非负整数解问题：将剩余3份自由分配给3个部门，允许部门获得0份，此时问题转化为求方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ 的非负整数解的个数。
3. 应用隔板法公式：组合数公式为 $\mathrm{C}(n + k - 1, k - 1)$，其中 $n$ 为剩余材料数，$k$ 为部门数。

破题关键点：

• 正确调整变量，将约束条件转化为无限制的分配问题。
• 准确应用隔板法公式，注意公式中参数的对应关系。

步骤1：满足最低分配要求
每个部门至少发放9份材料，因此先给每个部门分配9份，共分配 $3 \times 9 = 27$ 份。
剩余材料数为 $30 - 27 = 3$ 份。

步骤2：转化为非负整数解问题
将剩余3份分配给3个部门，允许部门获得0份。设第 $i$ 个部门额外获得 $x_i$ 份，则需满足：
$x_1 + x_2 + x_3 = 3 \quad (x_1, x_2, x_3 \geq 0).$

步骤3：应用隔板法公式
根据隔板法，方程的非负整数解个数为：
$\mathrm{C}(n + k - 1, k - 1) = \mathrm{C}(3 + 3 - 1, 3 - 1) = \mathrm{C}(5, 2).$

步骤4：计算组合数
$\mathrm{C}(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10.$