题目
设f(x)在可测集E上勒贝格可积,则( )A. f+(x)和f-(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积B. f+(x)和f-(x)都在E上勒贝格可积C. f+(x)和f-(x)都在E上不勒贝格可积D. |f(x)|=f+(x)+f-(x)在E上不勒贝格可积
设f(x)在可测集E上勒贝格可积,则( )
A. f+(x)和f-(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积
B. f+(x)和f-(x)都在E上勒贝格可积
C. f+(x)和f-(x)都在E上不勒贝格可积
D. |f(x)|=f+(x)+f-(x)在E上不勒贝格可积
题目解答
答案
B. f+(x)和f-(x)都在E上勒贝格可积
解析
步骤 1：定义勒贝格可积函数
勒贝格可积函数是指在可测集E上，函数f(x)的绝对值的勒贝格积分有限，即∫|f(x)|dμ < ∞，其中μ是勒贝格测度。
步骤 2：定义f+(x)和f-(x)
对于函数f(x)，定义f+(x) = max{f(x), 0}和f-(x) = max{-f(x), 0}。这样，f(x)可以表示为f(x) = f+(x) - f-(x)。
步骤 3：勒贝格可积函数的性质
如果f(x)在可测集E上勒贝格可积，那么f+(x)和f-(x)也都在E上勒贝格可积。这是因为f(x)的绝对值|f(x)| = f+(x) + f-(x)，而f(x)的勒贝格可积性意味着|f(x)|的勒贝格积分有限，即∫|f(x)|dμ < ∞。因此，f+(x)和f-(x)的勒贝格积分也有限，即∫f+(x)dμ < ∞和∫f-(x)dμ < ∞。
勒贝格可积函数是指在可测集E上，函数f(x)的绝对值的勒贝格积分有限，即∫|f(x)|dμ < ∞，其中μ是勒贝格测度。
步骤 2：定义f+(x)和f-(x)
对于函数f(x)，定义f+(x) = max{f(x), 0}和f-(x) = max{-f(x), 0}。这样，f(x)可以表示为f(x) = f+(x) - f-(x)。
步骤 3：勒贝格可积函数的性质
如果f(x)在可测集E上勒贝格可积，那么f+(x)和f-(x)也都在E上勒贝格可积。这是因为f(x)的绝对值|f(x)| = f+(x) + f-(x)，而f(x)的勒贝格可积性意味着|f(x)|的勒贝格积分有限，即∫|f(x)|dμ < ∞。因此，f+(x)和f-(x)的勒贝格积分也有限，即∫f+(x)dμ < ∞和∫f-(x)dμ < ∞。