题目

2.填空题lim_(x to 2) (x^2-4)/(x-2)=____.

2.填空题 $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=$____.

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **识别极限表达式**：给定的极限是 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$。 2. **因式分解分子**：注意到分子 $x^2-4$ 是一个差的平方，可以因式分解为 $(x-2)(x+2)$。因此，表达式变为： \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \] 3. **消去公因子**：在 $x \neq 2$ 的情况下，可以消去分子和分母中的公因子 $x-2$： \[ \lim_{x \to 2} (x+2) \] 4. **直接代入**：现在，我们可以直接将 $x = 2$ 代入表达式 $x+2$： \[ 2 + 2 = 4 \] 5. **得出结论**：因此，极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ 的值是 $\boxed{4}$。

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是当直接代入导致分母为零时的处理方式。关键在于因式分解和约分的应用。

解题核心思路：
当遇到形如$\frac{0}{0}$的不定型极限时，通常需要先对分子或分母进行因式分解，消去导致分母为零的因子，再代入求值。本题中，分子$x^2-4$可分解为$(x-2)(x+2)$，与分母$x-2$约分后简化表达式，最终直接代入$x=2$即可。

破题关键点：

  1. 识别分子为平方差形式，正确分解因式。
  2. 约分后简化表达式，转化为连续函数直接求值。

步骤1：因式分解分子
分子$x^2 - 4$可分解为：
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

步骤2：约分简化表达式
原式变为：
$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
在$x \neq 2$时，约去公因子$x-2$，得到：
$x + 2$

步骤3：直接代入求值
此时表达式$x + 2$在$x=2$处连续，直接代入得：
$2 + 2 = 4$