题目

sigma是群G_1到G_2的同构映射, a in G, 证明: |a||sigma(a)|.注: 这里a为G中有限阶元。

$\sigma$是群$G_1$到$G_2$的同构映射, $a \in G$, 证明: $|a||\sigma(a)|$. 注: 这里a为G中有限阶元。

题目解答

答案

设 $\sigma: G_1 \to G_2$ 为同构映射，$a \in G_1$ 且 $|a| = n$（即 $a^n = e_1$，其中 $e_1$ 为 $G_1$ 的单位元）。
由同构性质，$\sigma(a^n) = \sigma(e_1) = e_2$（$e_2$ 为 $G_2$ 的单位元），且
$\sigma(a^n) = (\sigma(a))^n = e_2.$
若存在 $k < n$ 使 $(\sigma(a))^k = e_2$，则
$\sigma(a^k) = e_2 \implies a^k = \sigma^{-1}(e_2) = e_1,$
与 $a$ 的阶为 $n$ 矛盾。
因此，$\sigma(a)$ 的阶为 $n$，即 $|\sigma(a)| = n$。

结论：
$\boxed{|a| = |\sigma(a)|}$

解析

本题考查群同构映射的性质以及元素阶的概念。解题的关键思路是利用同构映射的性质，结合元素阶的定义，通过反证法来证明$\vert a\vert$和$\vert\sigma(a)\vert$的关系。

详细解析

设$\sigma: G_1 \to G_2$为同构映射，$a \in G_1$且$\vert a\vert = n$（根据元素阶的定义，$n$是使得$a^n = e_1$成立的最小正整数，其中$e_1$为$G_1$的单位元）。

  1. 利用同构映射性质得到$(\sigma(a))^n = e_2$
    • 因为$\sigma$是同构映射，同构映射保持运算，所以$\sigma(a^n)=\sigma(a)^n$。
    • 又因为$a^n = e_1$，且同构映射将单位元映射为单位元，即$\sigma(e_1)=e_2$（$e_2$为$G_2$的单位元），所以$\sigma(a^n)=\sigma(e_1)=e_2$。
    • 综上可得$(\sigma(a))^n = e_2$。
  2. 用反证法证明$\vert\sigma(a)\vert = n$
    • 假设存在$k < n$使得$(\sigma(a))^k = e_2$。
    • 由于$\sigma$是同构映射，它是双射，所以$\sigma^{-1}$存在。对$(\sigma(a))^k = e_2$两边同时作用$\sigma^{-1}$，根据同构映射的性质$\sigma^{-1}(\sigma(a)^k)=\sigma^{-1}(e_2)$。
    • 因为$\sigma^{-1}(\sigma(a)^k)=(\sigma^{-1}\sigma(a))^k=a^k$，且$\sigma^{-1}(e_2)=e_1$，所以$a^k = e_1$。
    • 但这与$\vert a\vert = n$（$n$是使得$a^n = e_1$成立的最小正整数）矛盾，所以假设不成立。
    • 因此，使得$(\sigma(a))^m = e_2$成立的最小正整数$m$就是$n$，即$\vert\sigma(a)\vert = n$。
  3. 得出结论
    • 因为$\vert a\vert = n$且$\vert\sigma(a)\vert = n$，所以$\vert a\vert = \vert\sigma(a)\vert$，显然$\vert a\vert\mid\vert\sigma(a)\vert$。