题目
一工人修理一台机器需要两个阶段，第一阶段所需时间（以h计）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立，现有20台机器需要修理，求他在8h内完成的概率
一工人修理一台机器需要两个阶段，第一阶段所需时间（以h计）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立，现有20台机器需要修理，求他在8h内完成的概率
题目解答
答案
解：
设修理第
台机器，第一阶段耗时
，第二阶段为
，则共耗时
，
今已知
，
，
故
20台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，
即有
所求概率
即不大可能在8小时内完成全部工作
解析
步骤 1：定义随机变量
设修理第$i=1,2,\cdots,20$台机器，第一阶段耗时为$X_i$，第二阶段耗时为$Y_i$，则共耗时$Z_i = X_i + Y_i$。
步骤 2：计算期望和方差
已知$E(X_i) = 0.2$，$E(Y_i) = 0.3$，则$E(Z_i) = E(X_i) + E(Y_i) = 0.2 + 0.3 = 0.5$。
由于$X_i$和$Y_i$独立，$D(Z_i) = D(X_i) + D(Y_i) = 0.2^2 + 0.3^2 = 0.04 + 0.09 = 0.13$。
步骤 3：应用中心极限定理
20台机器需要修理的总时间可认为近似服从正态分布，即$N(20 \times 0.5, 20 \times 0.13) = N(10, 2.6)$。
步骤 4：计算概率
所求概率$P(\sum_{i=1}^{20} Z_i \leqslant 8) \sim \Phi\left(\dfrac{8 - 20 \times 0.5}{\sqrt{20 \times 0.13}}\right) = \Phi\left(\dfrac{8 - 10}{\sqrt{2.6}}\right) = \Phi\left(\dfrac{-2}{1.6125}\right) = \Phi(-1.24) = 0.1075$。
设修理第$i=1,2,\cdots,20$台机器，第一阶段耗时为$X_i$，第二阶段耗时为$Y_i$，则共耗时$Z_i = X_i + Y_i$。
步骤 2：计算期望和方差
已知$E(X_i) = 0.2$，$E(Y_i) = 0.3$，则$E(Z_i) = E(X_i) + E(Y_i) = 0.2 + 0.3 = 0.5$。
由于$X_i$和$Y_i$独立，$D(Z_i) = D(X_i) + D(Y_i) = 0.2^2 + 0.3^2 = 0.04 + 0.09 = 0.13$。
步骤 3：应用中心极限定理
20台机器需要修理的总时间可认为近似服从正态分布，即$N(20 \times 0.5, 20 \times 0.13) = N(10, 2.6)$。
步骤 4：计算概率
所求概率$P(\sum_{i=1}^{20} Z_i \leqslant 8) \sim \Phi\left(\dfrac{8 - 20 \times 0.5}{\sqrt{20 \times 0.13}}\right) = \Phi\left(\dfrac{8 - 10}{\sqrt{2.6}}\right) = \Phi\left(\dfrac{-2}{1.6125}\right) = \Phi(-1.24) = 0.1075$。