下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是( ).A. sin (1)/(x)(x arrow 0)B. e^(1)/(x)(x arrow 0)C. ln(1+x^2)(x arrow 0)D. (x-1)/(x^2)-1(x arrow 1)

无穷小量的定义是：当自变量趋近于某值时，函数值的极限为0。本题需判断四个选项中哪个函数在指定变化过程中的极限为0。关键点在于：

1. 排除极限不存在或非零的情况；
2. 化简表达式（如分式约分）；
3. 利用基本函数的极限性质（如$\ln(1+x)$在$x \to 0$时的极限）。

选项分析

A. $\sin \frac{1}{x} \quad (x \to 0)$

• 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x}$在正负方向交替趋近于无穷大，$\sin \frac{1}{x}$在$[-1,1]$间振荡。
• 极限不存在，故不是无穷小量。

B. $e^{\frac{1}{x}} \quad (x \to 0)$

• 当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$；
• 当$x \to 0^-$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$。
• 左右极限不相等，故极限不存在，不是无穷小量。

C. $\ln(1+x^{2}) \quad (x \to 0)$

• 当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，故$1+x^2 \to 1$；
• $\ln(1+x^2) \to \ln 1 = 0$。
• 极限为0，是无穷小量。

D. $\frac{x-1}{x^{2}-1} \quad (x \to 1)$

• 分母分解：$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$；
• 约分后：$\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$；
• 当$x \to 1$时，$\frac{1}{x+1} \to \frac{1}{2}$。
• 极限为$\frac{1}{2}$，不是无穷小量。