设系统[1]由下面差分方程描述: y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1) (1) 求系统的系统函数H(z), 并画出极零点分布图;(2) 限定系统是因果的, 写出H(z)的收敛域, 并求出其单位脉冲响应h(n);(3) 限定系统是稳定性的, 写出H(z)的收敛域, 并求出其单位脉冲响应h(n)。

解: (1) y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1) 将上式进行Z变换, 得到 Y(z)=Y(z)z-1+Y(z)z-2+X(z)z-1

因此:

零点为z=0。 令z2-z-1=0, 求出极点

(2)

n≥0时h(n)=Res[F(z), z1]+Res[F(z), z2]

因为h(n)是因果序列, n<0时, h(n)=0, 故

(3) 由于限定系统是稳定的, 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域, 即|z2|<|z|<|z1|,

n≥0时, c内只有极点z2, 只需求z2点的留数

n<0时, c内只有两个极点: z2和z=0, 因为z=0是一个n阶极点, 改成求圆外极点留数, 圆外极点只有一个, 即z1, 那么

最后得到