设(X_1, X_2, dots ,X_10)是来自正态总体X~N(mu ,16)的样本,S^2是样本方差,已知p(S^2 >a) =0.1,则常数a=()。 A. 62.105B. 10.625C. 20.165D. 26.105

本题考查正态总体样本方差的分布以及分位数的计算。解题的关键在于利用正态总体样本方差的性质，将样本方差与卡方分布建立联系，再通过已知的概率值确定对应的分位数，进而求出常数 $a$ 的值。

1. 确定样本方差的分布：
   • 已知样本 $(X_1, X_2, \dots, X_{10})$ 来自正态总体 $X \sim N(\mu, 16)$，其中总体方差 $\sigma^2 = 16$，样本容量 $n = 10$。
   • 根据正态总体样本方差的性质，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n - 1$ 的卡方分布，即 $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
   • 在此题中，$\frac{(10 - 1)S^2}{16} \sim \chi^2(9)$。
2. 将已知概率转化为卡方分布的形式：
   • 已知 $P\{S^2 > a\} = 0.1$，对不等式 $S^2 > a$ 两边同时乘以 $\frac{9}{16}$，得到 $\frac{9S^2}{16} > \frac{9a}{16}$。
   • 所以 $P\{S^2 > a\} = P\{\frac{9S^2}{16} > \frac{9a}{16}\} = 0.1$。
3. 根据卡方分布的分位数定义求解 $a$：
   • 由卡方分布的分位数定义可知，若 $P\{\chi^2(n - 1) > \chi_{\alpha}^2(n - 1)\} = \alpha$，则在本题中 $\frac{9a}{16} = \chi_{0.1}^2(9)$。
   • 查卡方分布表可得 $\chi_{0.1}^2(9) = 14.684$。
   • 那么 $\frac{9a}{16} = 14.684$，解方程可得：
     $\begin{align*}9a&=14.684\times16\\9a&=234.944\\a&=\frac{234.944}{9}\\a&\approx 26.105\end{align*}$