某地区的统计年鉴公布了各个行业从业人员的平均年收入。其中服务业的从业人员平均年收人为50000元。假定该结果是建立在一个由250名服务业从业人 员组成的样本基础上,且样本标准差为400元。计算服务业从业人员总体平均年收入置信度为95%的区间估计。

本题考查的是在样本容量足够大且总体方差未知的情况下，对总体均值进行置信区间估计的知识点。解题思路如下：

1. 首先明确已知条件：样本均值$\overline{X}$为服务业从业人员的平均年收入，即$\overline{X} = 50000$元；样本标准差$S$为$400$元；样本容量$n = 250$；置信度为$95\%$。
2. 然后确定使用的公式：当样本容量$n$足够大（一般认为$n\geq30$）且总体方差未知时，总体均值$\mu$的置信区间估计公式为$\overline{X}\pm Z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}$。其中$\overline{X}$是样本均值，$Z_{\alpha/2}$是标准正态分布的分位数，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。
3. 接着计算$Z_{\alpha/2}$的值：对于置信度为$95\%$，则$\alpha=1 - 95\%=0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。查标准正态分布表可得$Z_{0.025}=1.96$。
4. 再计算$\frac{S}{\sqrt{n}}$的值：将$S = 400$，$n = 250$代入$\frac{S}{\sqrt{n}}$，可得$\frac{400}{\sqrt{250}}$。因为$\sqrt{250}=\sqrt{25\times10}=5\sqrt{10}\approx5\times3.162 = 15.81$，所以$\frac{400}{\sqrt{250}}\approx\frac{400}{15.81}$。
5. 最后计算置信区间：
   • 下限为$\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}=50000 - 1.96\times\frac{400}{15.81}$
     $=50000-\frac{1.96\times400}{15.81}=50000-\frac{784}{15.81}\approx50000 - 49.59 = 49950.42$。
   • 上限为$\overline{X}+Z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}=50000 + 1.96\times\frac{400}{15.81}$
     $=50000+\frac{1.96\times400}{15.81}=50000+\frac{784}{15.81}\approx50000 + 49.59 = 50049.59$。