2.设z=z(x，y)是由方程x=ln(z)/(y)确定的隐函数，则(partial z)/(partial x)=（）.A. 1B. e^xC. ye^xD. y

本题考查隐函数求偏导数的知识。解题思路是先对给定的方程进行变形，然后通过隐函数求导法则或者直接对变形后的方程关于$x$求偏导数来计算$\frac{\partial z}{\partial x}$。

方法一：隐函数求导法则

已知方程$x = \ln\frac{z}{y}$，可将其变形为$x=\ln z-\ln y$。
设$F(x,y,z)=\ln z - \ln y - x$。
根据隐函数求导公式$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}$，分别求$F_{x}$和$F_{z}$：

• 对$F(x,y,z)$关于$x$求偏导数，此时$y$和$z$看作常数，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
  $F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=-1$
• 对$F(x,y,z)$关于$z$求偏导数，此时$x$和$y$看作常数，可得：
  $F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{1}{z}$
  将$F_{x}=-1$和$F_{z}=\frac{1}{z}$代入隐函数求导公式$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}$可得：
  $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{-1}{\frac{1}{z}} = z$
  又因为$x = \ln\frac{z}{y}$，变形可得$e^{x}=\frac{z}{y}$，即$z = ye^{x}$，所以$\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{x}$。

方法二：直接求偏导数

由$x=\ln z-\ln y$，方程两边同时对$x$求偏导数，此时$y$看作常数。
根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
$\frac{\partial x}{\partial x}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}$
因为$\frac{\partial x}{\partial x}=1$，$\frac{\partial y}{\partial x}=0$（$y$看作常数），所以$1=\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$，即$\frac{\partial z}{\partial x}=z$。
再由$x = \ln\frac{z}{y}$，变形为$e^{x}=\frac{z}{y}$，得到$z = ye^{x}$，所以$\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{x}$。