关于函数 dfrac (tan x)(x) 的间断点,下列说法中正确的是 ()-|||-A x=0 是可去间断点, =dfrac (pi )(2) 是无穷间断点;-|||-B B) x=0 与 =dfrac (pi )(2) 都是可去间断点;-|||-C x=0 是无穷间断点, =dfrac (pi )(2) 是可去间断点;-|||-D x=0 与 =dfrac (pi )(2) 都是无穷间断点.

本题考查函数间断点的类型判断，解题思路是先找出函数的间断点，再分别计算函数在这些间断点处的极限，根据极限的情况来判断间断点的类型。

步骤一：确定函数的间断点

对于函数$y = \frac{\tan x}{x}$，因为分母不能为$0$，且$\tan x$在$x = \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$处无定义，所以$x = 0$和$x = \frac{\pi}{2}$是函数的间断点。

步骤二：判断$x = 0$处间断点的类型

计算$x\to 0$时函数的极限，根据等价无穷小$\tan x\sim x(x\to 0)$，则：
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x}=1$
因为函数在$x = 0$处极限存在，但函数在$x = 0$处无定义，所以$x = 0$是可去间断点。

步骤三：判断$x = \frac{\pi}{2}$处间断点的类型

计算$x\to\frac{\pi}{2}$时函数的极限：
$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\frac{\tan x}{x}=\frac{-\infty}{\frac{\pi}{2}}=-\infty$
$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{\tan x}{x}=\frac{+\infty}{\frac{\pi}{2}}=+\infty$
因为函数在$x = \frac{\pi}{2}$处的左右极限至少有一个为无穷大，所以$x = \frac{\pi}{2}$是无穷间断点。