题目
6.一加法器同时收到20个噪声电压 _(k)(k=1,2,... ,20), 设它们是相互独立-|||-的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布,记 =sum _(k=1)^20(V)_(k), 利用-|||-中心极限定理求 vgt 105 的近似值.已知 (0.387)=0.652.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定每个噪声电压的期望值和方差
由于每个噪声电压 ${V}_{k}$ 都在区间 (0,10) 上服从均匀分布，因此每个噪声电压的期望值 $E[V_k]$ 和方差 $D[V_k]$ 可以通过均匀分布的性质计算得出。对于均匀分布 $U(a,b)$，其期望值 $E[U] = \frac{a+b}{2}$，方差 $D[U] = \frac{(b-a)^2}{12}$。因此，对于每个噪声电压 ${V}_{k}$，我们有：
$$E[V_k] = \frac{0+10}{2} = 5$$
$$D[V_k] = \frac{(10-0)^2}{12} = \frac{100}{12}$$
步骤 2：计算总噪声电压的期望值和方差
由于噪声电压是相互独立的，总噪声电压 $V$ 的期望值 $E[V]$ 和方差 $D[V]$ 可以通过求和得到。对于总噪声电压 $V$，我们有：
$$E[V] = \sum_{k=1}^{20} E[V_k] = 20 \times 5 = 100$$
$$D[V] = \sum_{k=1}^{20} D[V_k] = 20 \times \frac{100}{12} = \frac{2000}{12}$$
步骤 3：利用中心极限定理求概率
根据中心极限定理，当样本量足够大时，总和的分布近似于正态分布。因此，我们可以将 $V$ 视为近似服从正态分布 $N(100, \frac{2000}{12})$。为了求 $P\{ V > 105 \}$，我们需要将 $V$ 标准化，然后使用标准正态分布表来查找概率。标准化后的变量 $Z$ 为：
$$Z = \frac{V - E[V]}{\sqrt{D[V]}} = \frac{V - 100}{\sqrt{\frac{2000}{12}}}$$
因此，$P\{ V > 105 \}$ 可以表示为：
$$P\{ V > 105 \} = P\{ Z > \frac{105 - 100}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \}$$
$$= P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{500}{3}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{166.67}} \} = P\{ Z > 0.387 \}$$
根据题目中给出的 $\Phi(0.387) = 0.652$，我们可以得出：
$$P\{ Z > 0.387 \} = 1 - \Phi(0.387) = 1 - 0.652 = 0.348$$
由于每个噪声电压 ${V}_{k}$ 都在区间 (0,10) 上服从均匀分布，因此每个噪声电压的期望值 $E[V_k]$ 和方差 $D[V_k]$ 可以通过均匀分布的性质计算得出。对于均匀分布 $U(a,b)$，其期望值 $E[U] = \frac{a+b}{2}$，方差 $D[U] = \frac{(b-a)^2}{12}$。因此，对于每个噪声电压 ${V}_{k}$，我们有：
$$E[V_k] = \frac{0+10}{2} = 5$$
$$D[V_k] = \frac{(10-0)^2}{12} = \frac{100}{12}$$
步骤 2：计算总噪声电压的期望值和方差
由于噪声电压是相互独立的，总噪声电压 $V$ 的期望值 $E[V]$ 和方差 $D[V]$ 可以通过求和得到。对于总噪声电压 $V$，我们有：
$$E[V] = \sum_{k=1}^{20} E[V_k] = 20 \times 5 = 100$$
$$D[V] = \sum_{k=1}^{20} D[V_k] = 20 \times \frac{100}{12} = \frac{2000}{12}$$
步骤 3：利用中心极限定理求概率
根据中心极限定理，当样本量足够大时，总和的分布近似于正态分布。因此，我们可以将 $V$ 视为近似服从正态分布 $N(100, \frac{2000}{12})$。为了求 $P\{ V > 105 \}$，我们需要将 $V$ 标准化，然后使用标准正态分布表来查找概率。标准化后的变量 $Z$ 为：
$$Z = \frac{V - E[V]}{\sqrt{D[V]}} = \frac{V - 100}{\sqrt{\frac{2000}{12}}}$$
因此，$P\{ V > 105 \}$ 可以表示为：
$$P\{ V > 105 \} = P\{ Z > \frac{105 - 100}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \}$$
$$= P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{2000}{12}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{\frac{500}{3}}} \} = P\{ Z > \frac{5}{\sqrt{166.67}} \} = P\{ Z > 0.387 \}$$
根据题目中给出的 $\Phi(0.387) = 0.652$，我们可以得出：
$$P\{ Z > 0.387 \} = 1 - \Phi(0.387) = 1 - 0.652 = 0.348$$