下列选项中，哪一个为某4阶行列式中带正号的项(A) a_(14)a_(23)a_(31)a_(42);(B) a_(11)a_(23)a_(32)a_(44);(C) a_(12)a_(23)a_(34)a_(41);(D) a_(13)a_(24)a_(31)a_(42).

我们要判断哪一个选项是 4阶行列式中带正号的项。

一、行列式展开的基本概念

对于一个 $ n $ 阶行列式：

$\det(A) = \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}$

其中，$\sigma$ 是 $1,2,\dots,n$ 的一个排列，$\text{sgn}(\sigma)$ 是排列 $\sigma$ 的符号（正负号），定义为：

• 如果排列是偶排列（可以由偶数次对换得到），则符号为 $+1$；
• 如果排列是奇排列（需要奇数次对换），则符号为 $-1$。

二、题目分析

题目给出的四个选项都是4个元素的乘积，分别对应于某一个排列 $\sigma$。我们要找出其中符号为正的项。

我们分别分析每个选项对应的排列，并计算其符号（即判断是偶排列还是奇排列）。

(A) $a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}$

对应的排列是：

$\sigma = (4,3,1,2)$

我们要判断这个排列是偶排列还是奇排列。

我们可以通过对换将排列 $(4,3,1,2)$ 变成自然排列 $(1,2,3,4)$，并统计对换次数。

1. 交换 4 和 1：$(1,3,4,2)$ （第1次对换）
2. 交换 4 和 2：$(1,3,2,4)$ （第2次对换）
3. 交换 3 和 2：$(1,2,3,4)$ （第3次对换）

共3次对换 → 奇排列 → 符号为 $-1$。

排除 (A)

(B) $a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$

排列为：$(1,3,2,4)$

1. 交换 3 和 2：$(1,2,3,4)$ （1次对换）

1次对换 → 奇排列 → 符号为 $-1$

排除 (B)

(C) $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$

排列为：$(2,3,4,1)$

1. 交换 2 和 1：$(1,3,4,2)$
2. 交换 4 和 2：$(1,3,2,4)$
3. 交换 3 和 2：$(1,2,3,4)$

共3次对换 → 奇排列 → 符号为 $-1$

排除 (C)

(D) $a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}$

排列为：$(3,4,1,2)$

1. 交换 3 和 1：$(1,4,3,2)$
2. 交换 4 和 2：$(1,2,3,4)$

共2次对换 → 偶排列 → 符号为 $+1$

✅ 这是我们要找的带正号的项

三、答案

$\boxed{(D)\ a_{13}a_{24}a_{31}a_{42}}$