5、已知函数f(x,y)在R²连续，则I=int_(0)^1dxint_(0)^sqrt(-x^(2)+2x)f(x,y)dy+int_(1)^2dxint_(0)^(x-2)^(2)f(x,y)dy，交换积分次序后I=（）。A. int_(0)^1dyint_(1+sqrt(1-y^2))^2-sqrt(y)f(x,y)dxB. int_(0)^1dyint_(1+sqrt(1-y^2))^2+sqrt(y)f(x,y)dxC. int_(0)^1dyint_(1-sqrt(1-y^2))^2-sqrt(y)f(x,y)dxD. int_(0)^1dyint_(1-sqrt(1-y^2))^2+sqrt(y)f(x,y)dx

本题考查二重积分交换积分次序的知识点。解题的关键在于根据已知的积分限确定积分区域，然后再根据新的积分次序重新确定积分限。

步骤一：分析第一个积分$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{-x^{2}+2x}}f(x,y)dy$对应的积分区域$D_1$

• 对于$y$的积分限$0\leq y\leq\sqrt{-x^{2}+2x}$，两边同时平方可得$y^{2}\leq -x^{2}+2x$，移项并配方得到$(x - 1)^2 + y^2 \leq 1$，这是一个以$(1,0)$为圆心，半径为$1$的圆。
• 结合$x$的积分限$0\leq x\leq 1$，可知$D_1$是圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$在$x\in[0,1]$且$y\geq0$的部分。

步骤二：分析第二个积分$\int_{1}^{2}dx\int_{0}^{(x - 2)^2}f(x,y)dy$对应的积分区域$D_2$

• 对于$y$的积分限$0\leq y\leq (x - 2)^2$，开方可得$x - 2 = \pm\sqrt{y}$，即$x = 2 \pm\sqrt{y}$。
• 结合$x$的积分限$1\leq x\leq 2$，可知$D_2$是抛物线$y = (x - 2)^2$在$x\in[1,2]$且$y\geq0$的部分。

步骤三：确定总的积分区域$D = D_1\cup D_2$

综合$D_1$和$D_2$，可得$D$是由圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$（取$x\in[0,1]$且$y\geq0$部分）和抛物线$y = (x - 2)^2$（取$x\in[1,2]$且$y\geq0$部分）所围成的区域，且$y$的取值范围是$0\leq y\leq 1$。

步骤四：交换积分次序

• 对于$x$的下限，由圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$可得$x = 1 \pm\sqrt{1 - y^2}$，因为在$D_1$中$x\in[0,1]$，所以取$x = 1 - \sqrt{1 - y^2}$。
• 对于$x$的上限，由抛物线$y = (x - 2)^2$可得$x = 2 \pm\sqrt{y}$，因为在$D_2$中$x\in[1,2]$，所以取$x = 2 - \sqrt{y}$。

因此，交换积分次序后$I = \int_{0}^{1}dy\int_{1 - \sqrt{1 - y^2}}^{2 - \sqrt{y}}f(x,y)dx$。