5、若随机向量(x,Y)服从二维正态分-|||-布,则①X,Y一定相互独立;②若 (rho )_(xy)=0-|||-则X,Y一定相互独立;③X和Y都服从-|||-一维正态分布;④若x,Y相互独立,则-|||-cot (x,y)=0 几种说法中正确的是(B ()-|||-。-|||-A.①②③ ) ④ B.②③④ C.①-|||-③④ D.①②④ 文库

考查要点：本题主要考查二维正态分布的性质，包括独立性与相关性的关系、边缘分布的性质等。

解题核心思路：

1. 二维正态分布的独立性条件：当且仅当相关系数 $\rho_{XY}=0$ 时，$X$ 和 $Y$ 独立。
2. 边缘分布性质：二维正态分布的两个分量 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布均为一维正态分布。
3. 独立与相关的等价性：在二维正态分布下，独立 $\Leftrightarrow$ 不相关（即 $\rho_{XY}=0$）。

破题关键点：

• 明确二维正态分布中独立性与相关性的等价关系。
• 理解二维正态分布的边缘分布必然服从一维正态分布。

① X,Y 一定相互独立

错误。
二维正态分布下，$X$ 和 $Y$ 独立的充要条件是相关系数 $\rho_{XY}=0$。题目未给出 $\rho_{XY}=0$ 的条件，因此 $X$ 和 $Y$ 不一定独立。

② 若 $\rho_{XY}=0$，则 X,Y 一定相互独立

正确。
在二维正态分布中，若 $\rho_{XY}=0$，则 $X$ 和 $Y$ 不相关，且此时独立性与不相关等价，因此 $X$ 和 $Y$ 必然独立。

③ X 和 Y 都服从一维正态分布

正确。
二维正态分布的边缘分布性质保证了 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布均为一维正态分布。

④ 若 X,Y 相互独立，则 $\rho_{XY}=0$

正确。
若 $X$ 和 $Y$ 独立，则它们必然不相关，因此相关系数 $\rho_{XY}=0$。